Коефіцієнт кореляції рангу Спірмена

Коефіцієнт кореляції Спірмена визначається як коефіцієнт кореляції Пірсона між ранжуванням змінних. Для вибірки обсягу n множини Xi, Yi перетворюються в ряди xi, yi та обчислюється таким чином:

${\displaystyle \rho ={\frac {\sum _{i}(x_{i}-{\bar {x}})(y_{i}-{\bar {y}})}{\sqrt {\sum _{i}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}\sum _{i}(y_{i}-{\bar {y}})^{2}}}}.}$

Однаковим значенням (ранг зв'язків або величина дублікатів) присвоюється ранг, що дорівнює середньому числу їхніх позицій в порядку зростанні величини. У наведеній нижче таблиці зверніть увагу, що ранг значень xi при однаковій величині змінної Xi є однаковими:

Зміна ${\displaystyle X_{i}}$	Позиція в порядку зростання	Ранг ${\displaystyle x_{i}}$
0.8	1	1
1.2	2	${\displaystyle {\frac {2+3}{2}}=2.5\ }$
1.2	3	${\displaystyle {\frac {2+3}{2}}=2.5\ }$
2.3	4	4
18	5	5

У застосуваннях, де повторювані значення відсутні, для розрахунку може бути використана проста процедура. Різниця ${\displaystyle d_{i}=x_{i}-y_{i}}$ між рангами кожного спостереження від двох змінних вираховуються і визначається за формулою: ${\displaystyle \rho =1-{\frac {6\sum d_{i}^{2}}{n(n^{2}-1)}}.}$ Зауважимо, що цей останній спосіб не слід використовувати в тих випадках, коли набір даних буде скорочуватись, тобто, коли коефіцієнт кореляції Спірмена бажаний для верхнього запису X (або шляхом попереднього зміни положення або після зміни рангу або й те, й інше).

Є кілька інших числових критеріїв, які кількісно визначають ступінь статистичної залежності між парами спостережень. Найбільш поширеним з них є коефіцієнт Пірсона, який є аналогічним до методу кореляції рангу Спірмена, який вимірює «лінійні» співвідношення між значеннями, а не між їхніми рангами. Коефіцієнт кореляції Спірмена та Пірсона в загальному випадку вимірюють різні види взіємозв'язку між величинами (монотонний зв'язок у випадку кореляції Спрмана, лінійний зв'язок у випадку Пірсона) однак за умови коли обидві величени мають спільний гауссовий розподіл коефіцієнт корреляції Спірмана можна перетворити в коефіцієнт кореяції пірсона за допомогою формули ${\displaystyle \rho _{s}={\frac {6}{\pi }}\arcsin({\frac {r}{2}})}$ Альтернативна назва для рангової кореляції Спірмена є «степінь кореляції», в ній «ранг» зі спостережень замінюється на «степінь». В неперервних розподілах, степінь спостереження, за домовленістю, завжди вдвічі менше, ніж ранг, і, отже, степінь і ранг кореляції по суті одна й таж величина. У більш загальному сенсі «степінь» спостережень пропорційна оцінці частки населення менше заданого значення, при цьому половина спостереження регулюється досліджуваними величинами. Таким чином, це відповідає одній можливій обробці пов'язаних рангів. У той час як незвичайне, термін «степінь кореляції» досі використовується.

додатня та від'ємна кореляція Спірмена

додатній коефіцієнт кореляції Спірмена — відповідає збільшенню монотонності між X і Y.

від'ємний коефіцієнт кореляція Спірмена — відповідає монотонному зменшенню між X і Y.

Знак кореляції Спірмена вказує напрямок зв'язку між Х (незалежною змінною) та Y (залежною змінною). Якщо Y має тенденцію до збільшення, коли Х збільшується, коефіцієнт кореляції Спірмена є додатнім. Якщо Y має тенденцію до зменшення, коли X збільшується, коефіцієнт кореляції Спірмена від'ємний. Коефіцієнт Спірмена рівний нулю вказує на те, що Y не збільшується та не зменшується при збільшенні X. Збільшення коефіцієнта Спірмена відбувається при наближенні величин X та Y один до одного таким чином, що вони можуть стати монотонною функцією один одного. Коли X і Y монотонно пов'язані, коефіцієнт кореляції Спірмена набуває значення 1. Ідеальне монотонне зростання співвідношення передбачає, що для будь-яких двох пар значень даних (xi, yi) та (xj, yj): xi- xj та yi- yj завжди мають однаковий знак. Ідеальне монотонно спадне співвідношення передбачає, що xi- xj та yi- yj завжди мають протилежні знаки. Коефіцієнт кореляції Спірмена часто описується як «непараметричний». Це може мати два значення. По-перше, той факт, що найкращі результати повної кореляції Спірмена які бувають тоді, коли X та Y пов'язані будь-якою монотонною функцією, можна порівняти з кореляцією Пірсона, яка приймає найкраще значення лише коли X та Y зв'язані лінійною функцією. По-друге, кореляція Спірмена є непараметричною в тому сенсі, що його точний розподіл вибірки може бути отриманий без необхідності відомостей про параметри спільного розподілу вірогідності X та Y.

У цьому прикладі ми будемо використовувати вихідні дані в таблиці, щоб обчислити кореляцію між IQ людини з кількістю годин, проведених перед телевізором на тиждень.

IQ, ${\displaystyle X_{i}}$	Години, проведені за телевізором — ${\displaystyle Y_{i}}$
106	7
86	0
100	27
101	50
99	28
103	29
97	20
113	12
112	6
110	17

По-перше, ми повинні знайти значення ${\displaystyle d_{i}^{2}}$ . Для цього ми зробимо наступні кроки, відображені в таблиці нижче: 1. Сортування даних першої колонки (${\displaystyle X_{i}}$). Створення нової колонки і привласнити його ранжируваних значень 1,2,3, … N. 2. Далі, сортування даних другої колонки (${\displaystyle Y_{i}}$). Створення четвертої колонки і так само присвоїти їй ранжируваних значень 1,2,3, … N. 3. Створення п'ятої колонки ${\displaystyle d_{i}}$ , що є різницею двох стовпців рангу (${\displaystyle X_{i}}$ та ${\displaystyle Y_{i}}$). 4. Створення останнього стовпця ${\displaystyle d_{i}^{2}}$ для зберігання значення стовпця ${\displaystyle d_{i}}$ у квадраті.

IQ, ${\displaystyle X_{i}}$	Години, проведені за телевізором ${\displaystyle Y_{i}}$	ранг ${\displaystyle x_{i}}$	ранг ${\displaystyle y_{i}}$	${\displaystyle d_{i}}$	${\displaystyle d_{i}^{2}}$
86	0	1	1	0	0
97	20	2	6	−4	16
99	28	3	8	−5	25
100	27	4	7	−3	9
101	50	5	10	−5	25
103	29	6	9	−3	9
106	7	7	3	4	16
110	17	8	5	3	9
112	6	9	2	7	49
113	12	10	4	6	36

Коли знайдено ${\displaystyle d_{i}^{2}}$ , ми можемо знайти ${\displaystyle \sum d_{i}^{2}=194}$. n=10 . Таким чином, тепер ці значення можна підставити в рівняння: ${\displaystyle \rho =1-{\frac {6\times 194}{10(10^{2}-1)}}}$ де ρ = -29/165 = −0.175757575…

ρ- рівень (статистична значущість) дорівнює 0,68640058 (використали t розподіл Стьюдента).

Таке невелике значення показує, що кореляція між IQ та годинами, проведеними за телевізором дуже низька. У випадку коли вихідні значення пов'язані — ця формула не може бути використана. Замість коефіцієнта кореляції Персона повинні бути пораховані ранги.

Один з підходів до тестування: наскільки спостережуване значення ρ значно відрізняється від нуля (г завжди в діапазоні −1 ≤ г ≤ 1) — це обчислення ймовірності того, що значення ρ було б більше або дорівнює змінній г, враховуючи нульову гіпотезу, за допомогою тесту перестановки. Перевагою цього підходу є те, що він автоматично враховує кількість прив'язаних значень даних, що є в зразку, і способі, яким розглядали при обчисленні рангу кореляції. Інший підхід паралельно використовує перетворення Фішера у розумінні коефіцієнта кореляції Персона. Тобто, довірчий інтервал та перевірка гіпотези, пов'язаних з значенням можуть бути знайдені за допомогою перетворення Фішера:

${\displaystyle F(r)={1 \over 2}\ln {1+r \over 1-r}=\operatorname {arctanh} (r).}$

Якщо F(r) є перетворенням Фішера для r, то для коефіцієнта кореляції рангу Спірмена та n — розміру вибірки справедливо :

${\displaystyle z={\sqrt {\frac {n-3}{1.06}}}F(r)}$

Це є z — значення для r, які приблизно наближується до нормального розподілу в нульовій гіпотезі статистичної незалежності (ρ=0). Можна також перевірити на використання значення:

${\displaystyle t=r{\sqrt {\frac {n-2}{1-r^{2}}}}}$

яка поширюється приблизно як t-розподіл Стьюдента з ${\displaystyle n-2}$ ступенями свободи при нульовій гіпотезі. Обґрунтування цього результату залежить від перестановки аргументів. Узагальненням коефіцієнта Спірмена корисно використовувати в ситуаціях, коли є три або більше умов, ряд спостережуваних суб'єктів та відомо, що спостереження матимуть певний порядок. Наприклад, ряду суб'єктів може бути дано три випробування з використанням однакових завдань, і це передбачає, що від випробування до випробування буде відбуватися поліпшення якості виконання. Тест значущості тенденції між умовами в такій ситуації був розроблений E. B. Page[1] і, як правило, називається тестом Пейджа для тенденцій між упорядкованими альтернативами.

1. Page, E. B. (1963). Ordered hypotheses for multiple treatments: A significance test for linear ranks. Journal of the American Statistical Association 58 (301): 216–230. JSTOR 2282965. doi:10.2307/2282965.