Коніка дев'яти точок
Коніка дев'яти точок повного чотирикутника — це конічний перетин, що проходить через три діагональні точки і шість середин сторін повного чотирикутника.
Конічний перетин дев'яти точок описав Максим Бохер 1892 року. Більш відоме коло дев'яти точок є частковим випадком коніки Бохера. Інший частковий випадок — гіпербола де'вяти точок.
Визначення
Бохер використав чотири точки повного чотирикутника як три вершини трикутника і одну незалежну точку:
- Нехай задано трикутник ABC і точку P на площині. Конічний перетин можна провести через такі дев'ять точок:
- середини сторін трикутника ABC,
- середини відрізків, що з'єднують P з вершинами трикутника,
- точки, де прямі, що проходять через P та вершини трикутника, перетинають сторони трикутника.
Властивості
Конічний переріз буде еліпсом, якщо P лежить всередині трикутника ABC або в одній з областей площини, відокремлених від внутрішньої області трикутника двома сторонами. В іншому випадку коніка буде гіперболою. Бохер помітив, що у випадку, коли P є ортоцентром, отримаємо коло дев'яти точок, а коли P є центром описаного кола трикутника ABC, коніка буде рівнобічною гіперболою.
1912 року Мод Мінторн показав, що коніка дев'яти точок є геометричним місцем центрів конічних перетинів, що проходять через задані чотири точки.
Див. також
- Теорема про дев'ять точок на кубічній кривій
Література
- Maxime Bôcher. Nine-point Conic // Annals of Mathematics. — 1892. — Т. 6, вип. 5. — С. 132.
- Fanny Gates. Some Considerations on the Nine-point Conic and its Reciprocal // Annals of Mathematics. — 1894. — Т. 8, вип. 6. — С. 185–8.
- Maud A. Minthorn. The Nine Point Conic. — Master's dissertation at University of California, Berkeley, 1912.
- Eric W. Weisstein. Nine-point conic. MathWorld.
- Michael DeVilliers. The nine-point conic: a rediscovery and proof by computer // International Journal of Mathematical Education in Science and Technology. — Taylor & Francis, 2006. — Т. 37, вип. 1.
- Christopher Bradley. The Nine-point Conic and a Pair of Parallel Lines. — University of Bath.
Література для подальшого читання
- W. G. Fraser. On relations of certain conics to a triangle // Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society. — 1906. — Т. 25. — С. 38–41.
- Thomas F. Hogate. On the Cone of Second Order which is Analogous to the Nine-point Conic // Annals of Mathematics. — 1894. — Т. 7. — С. 73–6.
- P. Pinkerton. On a nine-point conic, etc. // Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society. — 1905. — Т. 24. — С. 31–3.