Конічні перетини

Чорні штриховані криві, що є межами кольорових областей є конічними перетинами. На зображенні не показана друга половина гіперболи, яка лежить на другій частині подвоєного конуса, не показаній тут.

Конічний переріз або перетин це крива, що отримується шляхом перетину площини, що називається січною площиною, і поверхнею подвійного конуса (конус з двома симетричними частинами). Для спрощення опису будемо вважати, що це правильний круглий конус, але це не обов'язково, бо поняття є актуальним для будь-якого подвоєного конусу, що можна утворити коло при перетині площиною. Площини, що проходять через верхівку конуса будуть перетинати конус у точці, по прямій або по парі прямих, які перетинаються. Такий випадок називають виродженим і не складає ніякого інтересу і тому, зазвичай цей випадок не розглядають як конічний переріз. Якщо явно не сказано інше, то під «конічним перерізом» розуміють не вироджені варіанти.

Є три види конічних перетинів, еліпс, парабола, і гіпербола. Коло є особливим випадком еліпса, хоча історично його розглядали як четвертий тип (наприклад, давньогрецький математик Аполлоній). Коло і еліпс виникають коли перетин площини і конуса утворює замкнену криву. Коло утворюється коли січна площина є паралельною площині основного кола, що утворює конус — для правильного конуса, це означає, що січна площина також є перпендикулярна осі симетрії конуса. Якщо січна площина є паралельною до однієї з прямих, що утворюють конус, тоді конічний переріз необмежений і не є замкнений і називається параболою. Залишився ще один варіант перетину — гіпербола, в даному випадку січна площина перетне обидві половини конуса, утворюючи окрему необмежену криву.

Коло (e= 0), Еліпс (e= 1 / 2) парабола (e= 1) та гіпербола (e= 2) з фіксованими фокусом F та директрисою.

Всі невироджені конічні перетини, за винятком кола, можна описати наступним способом: Виберімо на площині точку ${\displaystyle F}$, пряму ${\displaystyle d}$ і задаймо дійсне число ${\displaystyle e>0}$. Тоді геометричне місце точок, для яких відстань до точки ${\displaystyle F}$ та до прямої ${\displaystyle d}$ відрізняється в e разів (на малюнку ${\displaystyle |FM|=e\cdot |MM'|,\ MM'\bot d,\ e=1/2}$), є конічним перетином.

Точка ${\displaystyle F}$ має назву фокус конічного перетину, пряма ${\displaystyle d}$ — директриса, число ${\displaystyle e}$ — ексцентриситет.

В залежності від значення ексцентриситета, утворюється:

• При ${\displaystyle e<1}$ — еліпс;
• При ${\displaystyle e=1}$ — парабола;
• При ${\displaystyle e>1}$ — гіпербола.

Якщо ${\displaystyle e=0}$, то утворюється коло.

Параметри конічних перетинів на прикладі з еліпсом

Існує ряд параметрів, що пов'язані із конічним перетином. Основною віссю є пряма, що проходить крізь фокуси еліпса або гіперболи, а центр — це середина лінійного відрізку, що сполучає фокуси. Нижче наведені деякі спільні поняття і параметри конічних перетинів.[1]

Лінійний ексцентриситет (позначається буквою ${\displaystyle c}$) — відстань між центром і фокусом (або одним із двох фокусів).

Важливим елементом є хорда, що паралельна директрисі і яка проходить через фокус. Її повна довжина позначається як ${\displaystyle 2\ell }$.

Фокальний параметр (${\displaystyle \ell }$) — половина довжини хорди, що проходить через фокус і паралельна директрисі.

Параметр (${\displaystyle p}$) — відстань від фокусу (або одного з фокусів) до директриси.

Коли еліпс або гіпербола знаходиться в стандартній позиції (основна вісь знаходиться на осі ${\displaystyle x}$, а центр в початку координат) вершини конічних перетинів матимуть координати ${\displaystyle (-a,0)}$ і ${\displaystyle (a,0)}$, де ${\displaystyle a}$ не від'ємні.

Велика піввісь — це значення ${\displaystyle a}$.

Мала піввісь — це значення ${\displaystyle b}$ в рівнянні еліпса або гіперболи на стандартній евклідовій площині.

Мають місце наступні рівняння:

• ${\displaystyle pe=\ell }$
• ${\displaystyle ae=c.}$

Співвідношення цих параметрів наведені в таблиці нижче, за умови стандартного розташування на координатній площині. В усіх випадках, ${\displaystyle a}$ та ${\displaystyle b}$ додатні.

Конічний перетин	рівняння	ексцентриситет (e)	лінійний ексцентриситет (c)	Половина фокального параметру (ℓ)	Параметр (p)
коло	${\displaystyle x^{2}+y^{2}=a^{2}\,}$	${\displaystyle 0\,}$	${\displaystyle 0\,}$	${\displaystyle a\,}$	${\displaystyle \infty }$
еліпс	${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$	${\displaystyle {\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}$	${\displaystyle {\frac {b^{2}}{a}}}$	${\displaystyle {\frac {b^{2}}{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}}$
парабола	${\displaystyle y^{2}=4ax\,}$	${\displaystyle 1\,}$	-	${\displaystyle 2a\,}$	${\displaystyle 2a\,}$
гіпербола	${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$	${\displaystyle {\sqrt {1+{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$	${\displaystyle {\frac {b^{2}}{a}}}$	${\displaystyle {\frac {b^{2}}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}}$

Стандартні форми еліпса

Стандартні форми параболи

Стандартні форми гіперболи

При застосування визначення декартової системи координат можна використати рівнянні фокусу і директриси, аби вивести рівняння, що визначають координати точок конічних перетинів.[2] Застосовуючи перетворення системи координат, такі як поворот і переміщення осей, ці рівнянні можна привести до стандартної форми.[3] Для еліпсів і гіпербол в стандартній формі декартова вісь x буде суміщеною із головною віссю, а початок координат (точка (0,0)) знаходитиметься в центрі. Вершини будуть мати координати (±a, 0), а фокуси — координати (±c, 0). Визначимо b рівняннями c² = a² − b² для еліпса і c² = a² + b² для гіперболи. Для кола, c = 0 тому a² = b². Для параболи, її стандартна форма матиме фокус на осі x в точці (a, 0) а директрисою буде пряма, що задовольняє рівнянню x = −a. В стандартній формі парабола завжди проходитиме через початок координат. Особливим випадком гіперболи є ситуація, коли її асимптоти перпендикулярні. В такому випадку гіпербола називається рівнобічною. У такому випадку, стандартну форму можна отримати прийнявши асимптоти за координатні осі, а пряму x = y як основну вісь. Фокуси матимуть координати (c, c) і (−c, −c).[4]

• Коло: x² + y² = a²
• Еліпс: x²a² + y²b² = 1
• Гіпербола: x²a² − y²b² = 1
• Парабола: y² = 4ax, де a > 0
• Рівнобічна гіпербола:[5] xy = c²2

Перші три наведені форми є симетричними відносно обох x та y осей (коло, еліпс і гіпербола), або лише відносно x осі (для параболи). Рівнобічна гіпербола, в свою чергу, є симетричною відносно прямих y = x і y = −x.

Ці стандарті форми можна записати у вигляді параметричних рівнянь наступним чином,

• Коло: (a cos θ, a sin θ),
• Еліпс: (a cos θ, b sin θ),
• Парабола: (at², 2at),
• Гіпербола: (a sec θ, b tan θ) або (±a cosh u, b sinh u),
• Рівнобічна гіпербола: ${\displaystyle \left(dt,{\frac {d}{t}}\right),}$ де ${\displaystyle d={\frac {c}{\sqrt {2}}}.}$

В системі декартових координат графіком квадратичного рівняння двох змінних завжди буде конічний перетин (хоча він може бути виродженим[6]), і всі конічні перетини утворюються таким чином. Загальне рівняння буде матиме вигляд[7]

${\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0,}$

де всі коефіцієнти — це дійсні числа, а A, B, C не дорівнюють нулю.

Отже, конічні перетини є квадриками.

Конічні перетини описані таким рівнянням можна класифікувати в залежності від значення ${\displaystyle B^{2}-4AC}$, що є дискримінантом рівняння.[8] Тобто, дискримінант дорівнює − 4Δ, де Δ є детермінантом матриці ${\displaystyle \left|{\begin{matrix}A&B/2\\B/2&C\end{matrix}}\right|.}$

Типи конічних перетинів в залежності від значення дискримінанту будуть наступними:

• Якщо B² − 4AC < 0, то рівняння задає еліпс (вироджені випадки: точка або порожня множина);
  • Якщо A = C і B = 0, то рівняння задає коло, що є особливим випадком еліпса;
• Якщо B² − 4AC = 0, то це парабола, (вироджені випадки: пряма або пари паралельних прямих)
• Якщо B² − 4AC > 0, то це гіпербола або у виродженому випадку пари прямих, що перетинаються.
  • Якщо також матимемо A + C = 0, тоді рівняння задає рівнобічну гіперболу.

В даних позначеннях A і B є коефіцієнтами полінома, не варто їх плутати із позначеннями великої і малої півосей A і B, що часто використовуються в деяких джерелах.

Вище наведене рівняння можна задати в матричному вигляді як[9]

${\displaystyle \left({\begin{matrix}x&y\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}A&B/2\\B/2&C\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}x\\y\end{matrix}}\right)+\left({\begin{matrix}D&E\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}x\\y\end{matrix}}\right)+F=0.}$

А також, загальне рівняння можна записати як

${\displaystyle \left({\begin{matrix}x&y&1\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}A&B/2&D/2\\B/2&C&E/2\\D/2&E/2&F\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}x\\y\\1\end{matrix}}\right)=0.}$

Якщо конічний перетин задано в алгебраїчній формі як

${\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0,\,}$

ексцентриситет можна визначити як функцію коефіцієнтів квадратичного рівняння.[10] Якщо 4AC = B², то конічним перетином є парабола, а її ексцентриситет дорівнює 1 (якщо вона не вироджена). В інших випадках, вважаючи, що рівняння задає невироджені еліпс або гіперболу, ексцентриситет буде задаватися наступним чином

${\displaystyle e={\sqrt {\frac {2{\sqrt {(A-C)^{2}+B^{2}}}}{\eta (A+C)+{\sqrt {(A-C)^{2}+B^{2}}}}}},}$

де η = 1, якщо детермінант вищезгаданої матриці 3×3 є від'ємним і η = −1, якщо детермінант додатній.

Також можна довести[11]^{:p. 89}, що ексцентриситет є додатнім розв'язком рівняння

${\displaystyle \Delta e^{4}+[(A+C)^{2}-4\Delta ]e^{2}-[(A+C)^{2}-4\Delta ]=0,}$

Де також ${\displaystyle \Delta =AC-{\frac {B^{2}}{4}}.}$ Воно має точно один додатній розв'язок — ексцентриситет, у випадку параболи або еліпса, в той час як у випадку з гіперболою воно має два додатні розв'язку, один з яких є ексцентриситетом.

В полярних координатах ${\displaystyle (\rho ,\theta )}$ з центром в одному з фокусів та нульовим напрямом вздовж головної осі рівняння конічного перетину має вигляд:

${\displaystyle \rho (1-e\cos \theta )=l\,}$

де е — ексцентриситет, l — константа.