Копула

Нехай ${\displaystyle X_{1}}$ і ${\displaystyle X_{2}}$ — випадкові величини, функції розподілу імовірностей яких визначені на множинах ${\displaystyle A}$ та ${\displaystyle B}$ відповідно. Позначимо і-ту реалізацію j-ї випадкової величини як ${\displaystyle x_{j}(i)}$. Називатимемо функцію ${\displaystyle C(X_{1},X_{2})}$ зростаючою за кожною зі змінних ${\displaystyle X_{1}}$ і ${\displaystyle X_{2}}$, якщо для неї виконується така умова:

${\displaystyle C(x_{1}(2),x_{2}(2))+C(x_{1}(1),x_{2}(1))-C(x_{1}(2),x_{2}(1))-C(x_{1}(1),x_{2}(2))\geq 0}$, коли ${\displaystyle x_{j}(1)\leq x_{j}(2)}$;

Визначимо підкопулу ${\displaystyle C(X_{1},X_{2})}$ як двовимірну функцію двох змінних ${\displaystyle X_{1}}$ і ${\displaystyle X_{2}}$, визначену на такій множині ${\displaystyle A\hbar B}$, що ${\displaystyle A\in [0;1]}$ і ${\displaystyle B\in [0;1]}$, з областю значень ${\displaystyle [0;1]}$, що задовольняє таким умовам:

1. Обмеження знизу, тобто ${\displaystyle C(X_{1},X_{2})=0}$ , якщо ${\displaystyle \exists i:X_{i}=0}$
2. ${\displaystyle C(X_{1},X_{2})=X_{i}}$, якщо ${\displaystyle \forall \neq i:X_{j}=1}$
3. Зростання за кожною зі змінних.

Копула — це підкопула у разі, коли ${\displaystyle A=[0;1]}$ і ${\displaystyle B=[0;1]}$. Саме на даному етапі можливо застосувати копули до моделювання спільних ймовірнісних розподілів, оскільки імовірність будь-якої випадкової величини також належить відрізку від нуля до одиниці.

1. Обмеженість: ${\displaystyle 0\leq C(x_{1},...,x_{k})\leq 1}$.
2. Для будь-якої зв'язки виконується нерівність (границя Фреше-Хефдинга, Frechet-Hoeffding): ${\displaystyle Max(0,x_{1}+x_{2}-1)\geq C(x_{1},x_{2})\geq Min(x_{1},x_{2})}$.
3. Упорядкованість (домінування): зв'язка ${\displaystyle C_{1}}$ домінує над зв'язкою ${\displaystyle C_{2}}$, якщо ${\displaystyle \forall \ x_{1},...,x_{2}}$ виконується ${\displaystyle C_{1}(x_{1},...,x_{k})\geq C_{2}(x_{1},...,x_{k})}$.
4. ${\displaystyle C(u,\;0)=C(0,\;v)=0,}$
5. ${\displaystyle C(u,\;1)=u;\quad C(1,\;v)=v.}$

Мінімальна копула — це нижня границя для всіх копул, тільки в двовимірному випадку відповідає строго негативній кореляції між випадковими величинами:

${\displaystyle M(x,\;y)=\max(0,\;x+y-1).}$

Максимальна копула — це верхня границя для всіх копул, відповідає строго позитивній кореляції між випадковими величинами:

${\displaystyle W(x,\;y)=\min(x,\;y).}$

Одна часткова проста форма копули:

${\displaystyle H(x,\;y)=\Psi ^{-1}(\Psi (F(x))+\Psi (G(y))),}$

де ${\displaystyle \psi }$ називають функцією-генератором. Такі копули називаються архімедовими. Кожна функція-генератор, що задовольняє наведеним нижче властивостям є основою для правильної копули:

${\displaystyle \Psi (1)=0;\quad \lim _{x\to 0}\Psi (x)=\infty$ ;\quad \Psi '(x)<0;\quad \Psi ''(x)>0.}

Копула-добуток, також називана незалежною копулою, — це копула, що не має залежностей між змінними, її функція щільності завжди дорівнює одиниці.

${\displaystyle \Psi (x)=-\ln(x);\quad H(x,\;y)=xy.}$

Копула Клейтона (Clayton):

${\displaystyle \Psi (x)=x^{\theta }-1;\quad \theta \leqslant 0;\quad H(x,\;y)=(F(x)^{\theta }+G(y)^{\theta }-1)^{1/\theta }.}$

Для ${\displaystyle \theta =0}$ у копулі Клейтона випадкові величини статистично незалежні.

Підхід, заснований на функціях-генераторах, може бути розповсюджений для створення багатовимірних копул за допомогою простого додавання змінних.

При аналізі даних із невідомим розподілом, можна побудувати «емпіричну копулу» шляхом підбору згортки таким чином, щоб граничні розподіли вийшли рівномірними. Математично це можна записати так:

${\displaystyle C_{n}\left({\frac {i}{n}},{\frac {j}{n}}\right)={\frac {1}{n}}\cdot }$ Число пар ${\displaystyle (x,y)}$ таких що ${\displaystyle x\leq x_{(i)}{\text{ i }}y\leq y_{(j)}\,,1\leq i\leq n,1\leq j\leq n}$

де x_(і) — і-та порядкова статистика x.

Моделювання залежностей за допомогою копул широко використовується для оцінювання фінансових ризиків. Крім того, копули також застосовувалися до задач страхування життя як гнучкий інструмент, що дозволяє моделювати тривалість життя двох і більше осіб чи час до настання певної події.

Копули було успішно використано для формування бази даних для аналізу надійності мостів[2] і для різноманітних багатовимірних симуляцій моделей в цивільному, механічному машинобудуванні, а також будівництва у відкритому морі.