Критерій узгодженості Колмогорова

Нехай X=(X₁,…, X_n) — вибірка з розподілу ${\displaystyle \digamma }$. Перевіряється проста гіпотеза ${\displaystyle H_{1}={\digamma =\digamma _{1}}}$ проти складної альтернативи ${\displaystyle H_{2}={\digamma \neq \digamma _{1}}}$. Якщо розподіл має неперервну функцію розподілу F₁, можна користуватися критерієм Колмогорова. Хай: ${\displaystyle \rho (x)={\sqrt {n}}\sup _{y}|F_{n}^{*}(y)-F_{1}(y)|}$.

Якщо гіпотеза H₁ хибна, то X_i мають якийсь розподіл ${\displaystyle \digamma _{2}}$, відмінний від ${\displaystyle \digamma _{1}}$. За теоремою Гливенка — Кантеллі: ${\displaystyle F_{n}^{*}(y)\to F_{2}(y)}$ для будь-якого y коли ${\displaystyle n\to \infty }$. Оскільки ${\displaystyle \digamma _{1}\neq \digamma _{2}}$, то знайдеться таке y₀ що ${\displaystyle |F_{2}(y_{0})-F_{1}(y_{0})|>0}$. Але

${\displaystyle \sup _{y}|F_{n}^{*}(y)-F_{1}(y)|\geq |F_{n}^{*}(y_{0})-F_{1}(y_{0})|\to |F_{2}(y_{0})-F_{1}(y_{0})|>0}$.

Множимо на ${\displaystyle {\sqrt {n}}}$ і отримуємо, що при ${\displaystyle n\to \infty }$ значення ${\displaystyle \rho (x)={\sqrt {n}}\sup _{y}|F_{n}^{*}(y)-F_{1}(y)|\to \infty }$.

Нехай випадкова величина ${\displaystyle \eta }$ має розподіл з функцією розподілу Колмогорова:

${\displaystyle K(t)=\sum _{j=-\infty }^{+\infty }(-1)^{j}e^{-2j^{2}t^{2}},t>0}$.

Цей розподіл табульований, так що за заданим ${\displaystyle \varepsilon }$ легко знайти C таке, що ${\displaystyle \varepsilon =P(\eta \geq C)}$.

Критерій Колмогорова виглядає так:

${\displaystyle \delta (x)={\begin{cases}H_{1},&{\mbox{ }}\rho (X)<C\\H_{2},&{\mbox{ }}\rho (X)\geq C\end{cases}}}$.

Правило (параметричний критерій Колмогорова). якщо статистика ${\displaystyle {\sqrt {n}}D_{n}}$ перевищує квантиль розподілу Колмогорова ${\displaystyle K_{\alpha }}$ заданого рівня значимості ${\displaystyle \alpha }$, то нульова гіпотеза ${\displaystyle H_{0}}$ (у відповідність закону ${\displaystyle F(x)}$) відкидається. Інакше гіпотеза приймається на рівні ${\displaystyle \alpha }$.

Якщо ${\displaystyle n}$ досить велике, то ${\displaystyle k_{\alpha }}$ можна приблизно розрахувати за формулою:

${\displaystyle k_{\alpha }\approx {\sqrt {-{\frac {1}{2}}\ln {\frac {\alpha }{2}}}}.}$

Асимптотична потужність критерію дорівнює 1.

Критерій Узгодженості Колмогорова λ використовується при визначенні максимальної розбіжності між частотами емпіричного і теоретичного розподілу, обчислюється за формулою

${\displaystyle \lambda ={\frac {D}{\sqrt {\sum f}}}}$,

де D — максимальне значення різниці між накопиченими емпіричними і теоретичними частотами;

${\displaystyle \sum f}$ — сума емпіричних частот.

За таблицями значень ймовірності λ-критерію можна знайти величину λ, відповідну ймовірності Р. Якщо величина ймовірності Р значуща відносно знайденої величини, то можна передбачити, що розбіжності між теоретичним і емпіричним розподілами несуттєві. Необхідною умовою при використанні критерію узгодженості Колмогорова є велике число спостережень (не менше ста). Часто при перевірці гіпотез про розподіл тих або інших даних недостатньо застосувати якийсь один критерій, особливо, коли дані спостережень не показують значимого відхилення від гіпотези, і ситуація представляється сумнівною. У цих випадках доцільно скористатися іншими критеріями, заснованими на інших імовірнісних ідеях, щоб при їх допомозі піддати аналізу ті ж дані. Таким чином, дуже поважно мати широкий арсенал методів для статистичної обробки даних.

• Критерій узгодженості Пірсона