Критерій Дарбу

Нижня (зелена) і верхня (сіра) суми Дарбу на 4 відрізках розбиття

Нехай на відрізку ${\displaystyle [a,b]}$ визначена дійсна функція ${\displaystyle f}$. Розглянемо розбиття

${\displaystyle \tau =\left\{{{x}_{k}}\right\}_{k=0}^{n}:a={{x}_{0}}<{{x}_{1}}<\ldots <{{x}_{n-1}}<{{x}_{n}}=b}$.

Введемо позначення

${\displaystyle {{m}_{k}}=\inf \left\{f\left(x\right):x\in \left[{{x}_{k-1}},{{x}_{k}}\right]\right\},k={\overline {1,n}}}$,

${\displaystyle {{M}_{k}}=\sup \left\{f\left(x\right):x\in \left[{{x}_{k-1}},{{x}_{k}}\right]\right\},k={\overline {1,n}}}$.

Нарешті, розглянемо суми

${\displaystyle s\left(f,\tau \right)=\sum \limits _{k=1}^{n}{{{m}_{k}}\left({{x}_{k}}-{{x}_{k-1}}\right)}}$ — нижня сума Дарбу,

${\displaystyle S\left(f,\tau \right)=\sum \limits _{k=1}^{n}{{{M}_{k}}\left({{x}_{k}}-{{x}_{k-1}}\right)}}$ — верхня сума Дарбу.

• Нижня сума Дарбу не перевищує верхньої суми Дарбу на заданому розбитті.

${\displaystyle \forall \tau \ s\left(f,\tau \right)\leq S\left(f,\tau \right)}$;

При здрібненні розбиття нижня сума збільшується верхня сума зменшується

• Нижня сума Дарбу на деякому розбитті не перевищує верхньої суми Дарбу на подрібненні цього розбиття. Аналогічно верхня сума Дарбу на деякому розбитті не менше нижньої суми Дарбу на подрібненні цього розбиття.

${\displaystyle \forall {{\tau }_{1}},{{\tau }_{2}}:{{\tau }_{1}}\subset {{\tau }_{2}}\ \left\{{\begin{aligned}&s\left(f,{{\tau }_{1}}\right)\leq s\left(f,{{\tau }_{2}}\right)\\&S\left(f,{{\tau }_{1}}\right)\geq S\left(f,{{\tau }_{2}}\right)\\\end{aligned}}\right.}$,

${\displaystyle {{\tau }_{1}}\subset {{\tau }_{2}}}$ означає, що ${\displaystyle {{\tau }_{2}}}$ є подрібнення розбиття ${\displaystyle {{\tau }_{1}}}$;

• Якими б не були два розбиття одного й того самого відрізка, нижня сума Дарбу на одному розбитті не перевищує верхньої суми Дарбу на іншому розбитті.

${\displaystyle \forall {{\tau }_{1}},{{\tau }_{2}}\ s\left(f,{{\tau }_{1}}\right)\leq S\left(f,{{\tau }_{2}}\right)}$,

Висновок: нижні суми Дарбу обмежені, зверху, а верхні — знизу.

• Нехай ${\displaystyle {{I}^{*}}\left(f\right)}$ і ${\displaystyle {{I}_{*}}\left(f\right)}$ — верхній та нижній інтеграли Дарбу відповідно. Тоді

${\displaystyle \forall \tau \ s\left(f,\tau \right)\leq {{I}_{*}}\left(f\right)\leq {{I}^{*}}\left(f\right)\leq S\left(f,\tau \right)}$;

• Нехай ${\displaystyle \sigma (f,\tau ,\zeta )}$ — інтегральна сума. Тоді ${\displaystyle \forall \tau }$

${\displaystyle s(f,\tau )=\inf _{\zeta }\sigma (f,\tau ,\zeta )}$,

${\displaystyle S(f,\tau )=\sup _{\zeta }\sigma (f,\tau ,\zeta )}$.