Дійсне число

Перша розвинена числова система, побудована в Стародавній Греції, містила лише натуральні числа і їх відношення (пропорції, в сучасному розумінні — додатні раціональні числа). Однак з'ясувалось, що для задач геометрії і астрономії їх недостатньо: наприклад, відношення довжини діагоналі квадрата до довжини його сторони (яке дорівнює ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$) не може бути представлено ні натуральним, ні раціональним числом[1].

Щоб якось вийти з положення Евдокс Кнідський ввів, в доповнення до чисел, більш широке поняття геометричної величини, тобто довжини відрізка, площі чи об'єму. Теорія Евдокса дійшла до нас у працях Евкліда («Начала», книга V). По суті, теорія Евдокса — це геометрична модель дійсних чисел. З сучасної точки зору, при такому підході число є відношення двох однорідних величин — наприклад, досліджуваної і одиничного еталону. Однак потрібно зауважити, що Евдокс не розглядав таке відношення саме як число; через це в «Началах» багато теорем про властивості чисел потім заново доводяться для величин. Класична теорія Дедекінда побудови дійсних чисел за своїми принципами дуже подібна на викладки Евдокса. Але модель Евдокса неповна в багатьох відношеннях — наприклад, вона не містить аксіоми неперервності, немає загальної теорії арифметичних операцій для величин чи їх відношень та ін.[2]

В перші століття н. е. ситуація стала змінюватись. Вже Діофант Александрійський, всупереч попереднім традиціям, розглядає дроби так, як і натуральні числа, а в IV книзі «Арифметика» навіть стверджує: «Число виявляється не раціональним»[3]. Після розпаду античної науки на перший план вийшли індійські та ісламські математики, для яких будь-який результат вимірювання чи обчислення вважався числом. Ці погляди поступово стали домінуючими і в середньовічній Європі[4], де спочатку розділяли раціональні і ірраціональні (буквально: нерозумні) числа (їх називали також уявними, абсурдними, глухими і т. п.). Повне зрівняння в правах ірраціональних чисел пов'язане з працями Сімона Стевіна (кінець XVI століття)[3]. Він же, з деякими зауваженнями, легалізував від'ємні числа, а також розвинув теорію і символіку десяткових дробів.

Через століття Ньютон у своїй «Універсальній арифметиці» (1707) дає класичне означення (дійсного) числа як відношення результату вимірювання до одиничного еталону[5]. Тривалий час це прикладне означення вважалось достатнім, так що важливі для практики властивості дійсних чисел і функцій не доводились, а вважались інтуїтивно очевидними (із геометричних чи кінематичних міркувань). Строге визначення поняття неперервності також було відсутнім[6]. Як наслідок, багато теорем містили помилки, нечіткі або надто загальні формулювання.

Навіть після того, як Коші розробив достатньо строгий фундамент математичного аналізу, ситуація не змінилась, оскільки теорії дійсних чисел, на яку повинен був опиратися аналіз, не існувало. Через це Коші зробив немало помилок, поклавшись на інтуїцію там, де вона приводила до неправильних висновків: наприклад, він вважав, що сума ряду із неперервних функцій завжди неперервна.

Бернард Больцано

Першу спробу заповнити цю прогалину в основах математики зробив Бернард Больцано у 1817 році. В його роботі ще немає цілісної системи дійсних чисел, але вже наводиться сучасне означення неперервності[7]. В пізнішій праці[8] Больцано наводить начерк загальної теорії дійсних чисел, за ідеями близький до канторовської теорії множин[9], але ця його робота не була надрукована за життя автора і побачила світ лише в 1851 році. Погляди Больцано значно випередили свій час і залишились без належної уваги математичного товариства.

Сучасна теорія дійсних чисел була побудована у другій половині XIX століття, в першу чергу працями Вейєрштрасса, Дедекінда і Кантора. Вони запропонували різні, але еквівалентні підходи до теорії цієї важливої математичної структури і остаточно відділили це поняття від геометрії і механіки.

Дійсне число позначається як нескінченний десятковий дріб, тобто вираз вигляду

${\displaystyle \pm \,a_{0},a_{1}a_{2}\ldots a_{n}\ldots }$

де ${\displaystyle \pm }$ є одним із символів ${\displaystyle +}$ або ${\displaystyle -}$, який називається знаком числа, ${\displaystyle a_{0}}$ — ціле невід'ємне число, ${\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots a_{n},\ldots }$ — послідовність десяткових знаків, тобто елементів числової множини ${\displaystyle \{0,1,\ldots ,9\}}$.

Нескінченний десятковий дріб інтерпретується як таке число, яке на числовій прямій лежить між раціональними точками вигляду

Порівняння дійсних чисел в формі нескінченних десяткових дробів проводиться по розрядах. Наприклад, нехай задано два невід'ємних числа

${\displaystyle {\begin{matrix}\alpha &=+a_{0},a_{1}a_{2}\ldots a_{n}\ldots \\\beta &=+b_{0},b_{1}b_{2}\ldots b_{n}\ldots \end{matrix}}}$

Якщо ${\displaystyle a_{0}<b_{0}}$, то ${\displaystyle \alpha <\beta }$; якщо ${\displaystyle a_{0}>b_{0}}$, то ${\displaystyle \alpha >\beta }$. У випадку рівності ${\displaystyle a_{0}=b_{0}}$ переходять до порівняння наступного розряду. І так далі. Якщо ${\displaystyle \alpha \neq \beta }$, то після скінченного числа кроків зустрінеться розряд ${\displaystyle n}$ такий, що ${\displaystyle a_{n}\neq b_{n}}$. Якщо ${\displaystyle a_{n}<b_{n}}$, то ${\displaystyle \alpha <\beta }$; якщо ${\displaystyle a_{n}>b_{n}}$, то ${\displaystyle \alpha >\beta }$.

Але при цьому треба враховувати, що число ${\displaystyle a_{0},a_{1}a_{2}\ldots a_{n}(9)=a_{0},a_{1}a_{2}\ldots a_{n}+10^{-n}}$[11]. Тому, якщо запис одного із порівнюваних чисел, починаючи з деякого розряду, є періодичним десятковим дробом, у якого в періоді стоїть 9, то його слід замінити на еквівалентний запис, з нулем в періоді.

Арифметичні операції над нескінченними десятковими дробами визначаються як неперервне продовження[12] відповідних операцій над раціональними числами. Наприклад, сумою дійсних чисел ${\displaystyle \alpha }$ і ${\displaystyle \beta }$ назвемо дійсне число ${\displaystyle \alpha +\beta }$, яке задовольняє наступну умову:

${\displaystyle \forall a',a'',b',b''\in \mathbb {Q} \quad (a'\leqslant \alpha \leqslant a'')\land (b'\leqslant \beta \leqslant b'')\Rightarrow (a'+b'\leqslant \alpha +\beta \leqslant a''+b'')}$

Аналогічно визначається операція множення нескінченних десяткових дробів.

Згідно з підходом Дедекінда дійсні числа визначаться за допомогою перерізів на множині раціональних чисел.

Перерізом на множині раціональних чисел ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ називається будь-яке розбиття сукупності всіх раціональних чисел на два непорожніх класи — нижній ${\displaystyle A}$ та верхній ${\displaystyle A'}$ так, що кожне число із нижнього класу строго менше будь-якого числа із верхнього:

Якщо існує число ${\displaystyle \alpha }$, яке є максимальним у нижньому класі, або мінімальним у верхньому класі, то це число розділяє множини ${\displaystyle A}$ і ${\displaystyle A'}$: числа нижнього і верхнього класів лежать по різні сторони від ${\displaystyle \alpha }$. Кажуть також, що раціональне число ${\displaystyle \alpha }$ призводить до заданого перерізу множини раціональних чисел.

Якщо ж у нижньому класі перерізу немає максимального елемента, а в верхньому — мінімального, то не існує ніякого раціонального числа, яке б розділяло множини ${\displaystyle A}$ і ${\displaystyle A'}$. В цьому випадку за означенням вважають, що цей переріз визначає деяке ірраціональне число ${\displaystyle \alpha }$, яке знаходиться між нижнім і верхнім класами, і тим самим призводить до заданого перерізу. Інакше кажучи, для довільного перерізу, до якого не призводить жодне раціональне число, вводять новий об'єкт — ірраціональне число, яке за означенням більше довільного числа із нижнього класу і менше будь-якого числа із верхнього класу:

Об'єднання всіх раціональних і всіх ірраціональних чисел називають множиною дійсних чисел, а його елементи — дійсними числами.

Арифметичні операції над дійсними числами визначаються як неперервне продовження відповідних операцій над раціональними числами, так само як у теорії нескінченних десяткових дробів. Наприклад, сумою дійсних чисел ${\displaystyle \alpha }$ і ${\displaystyle \beta }$ називається дійсне число ${\displaystyle \alpha +\beta }$, яке задовольняє наступну умову:

${\displaystyle \forall a',a'',b',b''\in \mathbb {Q} \quad (a'\leqslant \alpha \leqslant a'')\land (b'\leqslant \beta \leqslant b'')\Rightarrow (a'+b'\leqslant \alpha +\beta \leqslant a''+b'')}$

У підході Кантора дійсне число розглядається як границя числової послідовності раціональних чисел. Для того, щоб послідовність раціональних чисел збігалась, на неї накладається умова Коші:

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\;\exists N(\varepsilon ):\;\forall n>N(\varepsilon )\;\forall m>0\quad |a_{n+m}-a_{n}|<\varepsilon }$

Суть цієї умови в тому, для будь-якої заданої відстані, існує такий номер елемента послідовності після якого члени послідовності будуть розташовані один від одного на відстані, меншій цієї заданої відстані. Послідовності, які задовольняють умову Коші, називаються фундаментальними.

Дійсне число, яке визначається фундаментальною послідовністю раціональних чисел ${\displaystyle \{a_{n}\}}$, позначимо ${\displaystyle [a_{n}]}$.

Два дійсних числа

визначені відповідно фундаментальними послідовностями ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ і ${\displaystyle \{b_{n}\}}$, називаються рівними, якщо

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(a_{n}-b_{n}\right)=0}$

Якщо задані два дійсних числа ${\displaystyle \alpha =[a_{n}]}$ і ${\displaystyle \beta =[b_{n}]}$, то їх сумою і добутком називаються числа, визначені відповідно сумою і добутком послідовностей ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ і ${\displaystyle \{b_{n}\}}$:

${\displaystyle \alpha +\beta \,{\overset {\text{def}}{=}}\,[a_{n}+b_{n}]\qquad \alpha \cdot \beta \,{\overset {\text{def}}{=}}\,[a_{n}\cdot b_{n}]}$

Відношення порядку на множині дійсних чисел встановлюється за допомогою такої домовленості: число ${\displaystyle \alpha =[a_{n}]}$ за означенням більше числа ${\displaystyle \beta =[b_{n}]}$, тобто ${\displaystyle \alpha >\beta }$, якщо

${\displaystyle \exists \varepsilon >0\;\exists N:\;\forall n>N\;a_{n}\geqslant b_{n}+\varepsilon }$

Спосіб побудови множини дійсних чисел за допомогою фундаментальних послідовностей раціональних чисел є частковим випадком побудови поповнення довільного метричного простору. Як і в загальному випадку, отримана в результаті поповнення множина дійсних чисел вже є повною, тобто містить в собі границі всіх фундаментальних послідовностей своїх елементів.

На множині ${\displaystyle \mathbb {R} }$ визначено відображення (операція додавання)

яка кожній впорядковані парі елементів ${\displaystyle a,b}$ з ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ставить у відповідність деякий елемент ${\displaystyle c}$ з тієї ж множини ${\displaystyle \mathbb {R} }$, який називається сумою елементів ${\displaystyle a}$ і ${\displaystyle b}$ (${\displaystyle a+b}$ еквівалентний запис елемента ${\displaystyle c}$ множини ${\displaystyle \mathbb {R} }$, ${\displaystyle c=a+b}$).

Також, на множині ${\displaystyle \mathbb {R} }$ визначено відображення (операція множення)

яке кожній впорядкованій парі елементів ${\displaystyle a,b}$ із ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ставить у відповідність деякий елемент ${\displaystyle a\cdot b}$, який називається добутком ${\displaystyle a}$ і ${\displaystyle b}$.

При цьому виконуються такі властивості:

${\displaystyle {\text{I}}_{1}.}$ Комутативність додавання. Для довільних ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle a+b=b+a}$

${\displaystyle {\text{I}}_{2}.}$ Асоціативність додавання. Для довільних ${\displaystyle a,b,c\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle a+(b+c)=(a+b)+c}$

${\displaystyle {\text{I}}_{3}.}$ Існування нейтрального елемента відносно додавання. Існує елемент ${\displaystyle 0\in \mathbb {R} }$, який називається нулем, такий, що для довільного ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle a+0=a}$

${\displaystyle {\text{I}}_{4}.}$ Існування оберненого елемента відносно додавання. Для довільного ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$ існує елемент ${\displaystyle -a\in \mathbb {R} }$, який називається протилежним до ${\displaystyle a}$, такий, що

${\displaystyle a+(-a)=0}$

${\displaystyle {\text{I}}_{5}.}$ Комутативність множення. Для довільних ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle a\cdot b=b\cdot a}$

${\displaystyle {\text{I}}_{6}.}$ Асоціативність множення. Для довільних ${\displaystyle a,b,c\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c}$

${\displaystyle {\text{I}}_{7}.}$ Існування нейтрального елемента відносно множення. Існує елемент ${\displaystyle 1\in R}$, який називається одиницею, такий, що для довільного ${\displaystyle a\in R}$

${\displaystyle a\cdot 1=a}$

${\displaystyle {\text{I}}_{8}.}$ Існування оберненого елемента відносно множення. Для довільного ${\displaystyle a\in \mathbb {R} ,a\neq 0,}$ існує елемент ${\displaystyle a^{-1}\in \mathbb {R} }$, який також позначається ${\displaystyle 1/a}$ і називається оберненим до ${\displaystyle a}$, такий, що

${\displaystyle a\cdot a^{-1}=1}$

${\displaystyle {\text{I}}_{9}.}$ Дистрибутивний закон множення відносно додавання (правило розкриття дужок). Для довільних ${\displaystyle a,b,c\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c}$

${\displaystyle {\text{I}}_{10}.}$ Нетривіальність поля. Одиниця і нуль — різні елементи ${\displaystyle \mathbb {R} }$:

На основі операцій додавання та множення вводять додаткові операції на множині дійсних чисел

Тобто віднімання деякого числа ${\displaystyle b}$ це додавання протилежного до ${\displaystyle b}$ елемента, а ділення на ${\displaystyle b}$ — множення на обернений елемент до ${\displaystyle b}$.

Між елементами ${\displaystyle \mathbb {R} }$ визначено відношення порядку ${\displaystyle \leqslant }$, тобто для довільної впорядкованої пари елементів ${\displaystyle a,b}$ із ${\displaystyle \mathbb {R} }$ встановлено, чи виконується відношення ${\displaystyle a\leqslant b}$ чи не виконується. При цьому справджуються такі властивості:

${\displaystyle {\text{II}}_{1}.}$ Рефлексивність. Для довільного ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle {\text{II}}_{2}.}$ Антисиметричність. Для довільних ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle {\text{II}}_{3}.}$ Транзитивність. Для довільних ${\displaystyle a,b,c\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle {\text{II}}_{4}.}$ Лінійна впорядкованість. Для довільних ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle {\text{II}}_{5}.}$ Зв'язок між додаванням і порядком. Для довільних ${\displaystyle a,b,c\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle {\text{II}}_{6}.}$ Зв'язок між множенням і порядком. Для довільних ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$

На основі відношення порядку ${\displaystyle \leqslant }$ означують інші відношення між дійсними числами:

Також, для довільного впорядкованого поля можна ввести поняття абсолютної величини його елементів. Для довільного дійсного числа ${\displaystyle a}$ дійсне число, яке позначається ${\displaystyle |a|}$ і визначене формулою

${\displaystyle |a|=\left\{{\begin{array}{ll}a,&a\geqslant 0,\\-a,&a<0,\end{array}}\right.}$

називається абсолютною величиною або модулем числа ${\displaystyle a}$.

${\displaystyle {\text{III}}_{1}.}$ Які б не були непорожні множини ${\displaystyle A\subset \mathbb {R} }$ і ${\displaystyle B\subset \mathbb {R} }$ такі, що для довільних двох елементів ${\displaystyle a\in A}$ і ${\displaystyle b\in B}$ виконується нерівність ${\displaystyle a\leqslant b}$, існує таке число ${\displaystyle \xi \in \mathbb {R} }$, що для всіх ${\displaystyle a\in A}$ і ${\displaystyle b\in B}$ виконуються нерівності

${\displaystyle a\leqslant \xi \leqslant b}$

Аксіома ${\displaystyle {\text{III}}_{1}}$ може бути замінена на наступні два твердження:

${\displaystyle {\text{III}}_{1}'.}$ Аксіома Архімеда. Нехай ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} ,\,a>0}$ і ${\displaystyle b>0}$. Тоді взявши елемент ${\displaystyle a}$ доданком достатню кількість разів, можна перевершити ${\displaystyle b}$:

Поле для якого виконується аксіома Архімеда називається архімедовим. Прикладом неархімедового поля є, наприклад, поле p-адичних чисел.

${\displaystyle {\text{III}}_{2}'.}$ Аксіома повноти (в сенсі Гільберта). Систему ${\displaystyle \mathbb {R} }$ неможливо розширити до жодної іншої системи ${\displaystyle \mathbb {R} ^{*}}$ так, щоб при збереженні попередніх відношень між елементами ${\displaystyle \mathbb {R} }$, для ${\displaystyle \mathbb {R} ^{*}}$ виконувались би всі аксіоми ${\displaystyle {\text{I}}}$—${\displaystyle {\text{II}}}$, ${\displaystyle {\text{III}}_{1}'.}$.

Цих аксіом достатньо, щоб строго вивести всі відомі властивості дійсних чисел. Множина елементів, для яких виконуються наведені вище аксіоми називається неперервним впорядкованим полем.

• (єдиність нуля) ${\displaystyle \exists$ !\,0\in \mathbb {R} }

• (єдиність протилежного елемента) ${\displaystyle \forall a\in \mathbb {R} \quad \exists$ !\,(-a)\in \mathbb {R} }

• ${\displaystyle \forall a,b\in \mathbb {R} \quad \exists$ !\,x\in \mathbb {R} \quad \Rightarrow \quad a+x=b}

• (єдиність одиниці) ${\displaystyle \exists$ !\,1\in \mathbb {R} }

• (єдиність оберненого елемента) ${\displaystyle \forall a\in \mathbb {R} \setminus \{0\}\quad \exists$ !\,a^{-1}\in \mathbb {R} }

• ${\displaystyle \forall a\in \mathbb {R} \setminus \{0\}\quad \forall b\in \mathbb {R} \quad \exists$ !\,x\in \mathbb {R} \quad \Rightarrow \quad a\cdot x=b}

• ${\displaystyle \forall a\in \mathbb {R} \quad a\cdot 0=0}$

• ${\displaystyle \forall a,b\in \mathbb {R} \quad a\cdot b=0\quad \Rightarrow \quad (a=0)\lor (b=0)}$

• ${\displaystyle \forall a\in \mathbb {R} \quad (-1)\cdot a=-a}$

• ${\displaystyle \forall a\in \mathbb {R} \quad (-1)\cdot (-a)=a}$

• ${\displaystyle \forall a\in \mathbb {R} \quad (-a)\cdot (-a)=a\cdot a}$

• Для довільних ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$ виконується одне і лише одне зі співвідношень

${\displaystyle 1)a<b;\quad 2)a=b;\quad 3)a>b.}$

• ${\displaystyle \forall a,b,c\in \mathbb {R} \quad (a<b)\land (b\leqslant c)\Rightarrow (a<c)}$

• ${\displaystyle \forall a,b,c\in \mathbb {R} \quad (a<b)\land (b<c)\Rightarrow (a<c)}$

• ${\displaystyle \forall a,b,c\in \mathbb {R} \quad (a<b)\Rightarrow (a+c<b+c)}$

• ${\displaystyle \forall a,b,c,d\in \mathbb {R} \quad (a\leqslant b)\land (c\leqslant d)\Rightarrow (a+c\leqslant b+d)}$

• ${\displaystyle \forall a,b,c,d\in \mathbb {R} \quad (a\leqslant b)\land (c<d)\Rightarrow (a+c<b+d)}$

• ${\displaystyle \forall a\in \mathbb {R} \quad (0<a)\Rightarrow (-a<0)}$

• ${\displaystyle (0<a)\land (0<b)\Rightarrow (0<a\cdot b)}$

• ${\displaystyle (a<0)\land (b<0)\Rightarrow (a\cdot b>0)}$

• ${\displaystyle (a<0)\land (0<b)\Rightarrow (a\cdot b<0)}$

• ${\displaystyle (a<b)\land (0<c)\Rightarrow (a\cdot c<b\cdot c)}$

• ${\displaystyle (a<b)\land (c<0)\Rightarrow (a\cdot c>b\cdot c)}$

• ${\displaystyle (0<1)}$

• ${\displaystyle (0<a)\Rightarrow (0<a^{-1})}$

Очевидно, що на числовій прямій раціональні числа розміщені в купі з дійсними, причому множина дійсних чисел «щільніша» ніж множина раціональних. Виникає питання, як часто на числовій прямій зустрічаються раціональні і дійсні числа та чи можна одні числа наблизити іншими. Відповідь на це питання дають три наступні леми, які ґрунтуються, в основному, на аксіомі Архімеда.[13]

Лема 1. Для довільного дійсного числа і для довільного наперед взятого додатного раціонального числа ${\displaystyle \varepsilon }$ знайдеться пара раціональних чисел, які знаходяться один від одного на відстані менш, ніж ${\displaystyle \varepsilon }$, таких, що дійсне число лежить на відрізку між цими раціональними числами.

${\displaystyle \forall a\in \mathbb {R} \quad \forall \varepsilon \in \mathbb {Q} _{+}\quad \exists q_{1},q_{2}\in \mathbb {Q}$ :~(q_{1}\leqslant a\leqslant q_{2})\land (q_{2}-q_{1}<\varepsilon )}

Іншими словами, будь-яке дійсне число можна з заданою точністю з обох боків наблизити раціональними числами.

Лема 2. Між будь-якими двома різними дійсними числами міститься раціональне число.

${\displaystyle \forall a,b\in \mathbb {R}$ :~a<b\quad \exists q\in \mathbb {Q} :a<q<b}

Як наслідок отримуємо, що між будь-якими двома різними дійсними числами міститься нескінченно багато раціональних. Крім того, очевидно, що між будь-якими двома різними раціональними числами міститься дійсне. Будь-який відрізок числової прямої містить як раціональні, так і ірраціональні точки.

Лема 3. Наближення дійсного числа раціональним, описане в лемі 1, ідентифікує дійсне число єдиним чином.

${\displaystyle \forall a,b\in \mathbb {R} \quad (\forall \varepsilon \in \mathbb {Q} _{+}\,\,\exists q_{1},q_{2}\in \mathbb {Q}$ :~(q_{1}\leqslant a\leqslant q_{2})\land (q_{1}\leqslant b\leqslant q_{2})\land (q_{2}-q_{1}<\varepsilon ))\quad \Rightarrow \quad a=b}