Формулу суми кубів можна отримати, на основі таблиці множення і формули суми арифметичної прогресії[1]. Розглядаючи як ілюстрацію методу дві таблиці множення ${\displaystyle 5\times 5}$, наведемо міркування для таблиць розміром ${\displaystyle n\times n.}$

Сума чисел у ${\displaystyle k}$-й (k = 1, 2, …) виділеній області першої таблиці:

${\displaystyle k^{2}+2k\sum _{l=1}^{k-1}l=k^{2}+2k{\frac {k(k-1)}{2}}=k^{3}.}$

А сума чисел у ${\displaystyle k}$-ї (k=1,2,\dots)</math> виділеної області другої таблиці, що є арифметичною прогресією:

${\displaystyle k\sum _{l=1}^{n}l=k{\frac {n(n+1)}{2}}.}$

Провівши сумування по всіх виділених областях першої таблиці, отримаємо таке ж число, як і при сумуванні по всіх виділених областях другої таблиці:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{3}=\sum _{k=1}^{n}k{\frac {n(n+1)}{2}}={\frac {n(n+1)}{2}}\sum _{k=1}^{n}k=\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)^{2}.}$

Існує гіпотеза, що будь-яке ціле число (додатне чи від'ємне), яке не конгруентно ${\displaystyle \pm 4}$ за модулем 9, можна записати як суму трьох (додатних чи від'ємних) кубів нескінченно багатьма способами.[2] Наприклад, ${\displaystyle 6=2^{3}+(-1)^{3}+(-1)^{3}}$. Цілі числа, конгруентні ${\displaystyle \pm 4}$ за модулем 9, виключаються, оскільки їх не можна записати як суму трьох кубів.

Найменшим таким цілим числом, для якого така сума невідома, є 114. У вересні 2019 року було виявлено, що попереднє найменше таке ціле число 42, для якого було невідоме представлення у вигляді суми 3 кубів, можна записати у вигляді: [3]Шаблон:Better source needed

${\displaystyle 42=(-80538738812075974)^{3}+80435758145817515^{3}+12602123297335631^{3}.}$

По одному з розв'язків для ${\displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}=n}$ наведено в таблиці нижче для ${\displaystyle n\leq 78}$, і ${\displaystyle n}$ не конгруентно 4 або 5 за модулем 9. Вибраний розв'язок є примітивним ${\displaystyle ({\text{НСД}}(x,y,z)=1)}$, не вигляду ${\displaystyle c^{3}+(-c)^{3}+n^{3}=n^{3}}$ або ${\displaystyle (n+6nc^{3})^{3}+(n-6nc^{3})^{3}+(-6nc^{2})^{3}=2n^{3}}$ (оскільки вони мають нескінченні сім'ї розв'язків), задовольняє умові ${\displaystyle 0\leq |x|\leq |y|\leq |z|}$, та має мінімальні значення для ${\displaystyle |z|}$ та ${\displaystyle |y|}$ (протестовано в цьому порядку). [4][5][6]

Вказано лише примітивні розв'язки, оскільки непримітивні можна тривіально отримати з розв'язків для менших значень ${\displaystyle n}$. Наприклад, для ${\displaystyle n=24}$: ${\displaystyle 2^{3}+2^{3}+2^{3}=24}$ отримується з ${\displaystyle 1^{3}+1^{3}+1^{3}=3}$ домноженням на ${\displaystyle 8=2^{3}}$. Отже, це інший розв'язок, ніж який вибрано. Так само для ${\displaystyle n=48}$ виключається розв'язок ${\displaystyle (x,y,z)=(-2,-2,4)}$, і вказано розв'язок ${\displaystyle (x,y,z)=(-23,-26,31)}$.

Рівняння ${\displaystyle x^{3}+y^{3}=z^{3}}$ не має нетривіальних (тобто ${\displaystyle xyz\neq 0}$) розв'язків у цілих числах. Насправді рівняння не має жодного розв'язку в цілих числах Ейзенштейна.[7]

Обидва ці твердження також справедливі для рівняння ${\displaystyle x^{3}+y^{3}=3z^{3}}$.[8]

Сума перших ${\displaystyle n}$ кубів ― це ${\displaystyle n}$-е трикутне число у квадраті:

${\displaystyle 1^{3}+2^{3}+\dots +n^{3}=(1+2+\dots +n)^{2}=\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)^{2}.}$

Доведення. Чарльз Вітстон(1854) навів особливо просте виведення, предсталяючи кожен куб у сумі як набір послідовних непарних чисел. Він починає з тотожності:

${\displaystyle n^{3}=\underbrace {\left(n^{2}-n+1\right)+\left(n^{2}-n+1+2\right)\%+\left(n^{2}-n+1+4\right)+\cdots +\left(n^{2}+n-1\right)} _{n{\text{ послідовних непарних чисел}}}.}$

Ця тотожність пов'язана з трикутними числами ${\displaystyle T_{n}}$ наступним чином:

${\displaystyle n^{3}=\sum _{k=T_{n-1}+1}^{T_{n}}(2k-1)}$

і, отже, доданти, що утворюють ${\displaystyle n^{3}}$, починаються відразу після тих, що утворюють усі попередні значення ${\displaystyle 1^{3}}$ аж до ${\displaystyle (n-1)^{3}}$. Використовуючи цю властивість разом із іншою добре відомою тотожністю

${\displaystyle n^{2}=\sum _{k=1}^{n}(2k-1)}$,

отримуємо

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=1}^{n}k^{3}&=1+8+27+64+\cdots +n^{3}\\&=\underbrace {1} _{1^{3}}+\underbrace {3+5} _{2^{3}}+\underbrace {7+9+11} _{3^{3}}+\underbrace {13+15+17+19} _{4^{3}}+\cdots +\underbrace {\left(n^{2}-n+1\right)+\cdots +\left(n^{2}+n-1\right)} _{n^{3}}\\&=\underbrace {\underbrace {\underbrace {\underbrace {1} _{1^{2}}+3} _{2^{2}}+5} _{3^{2}}+\cdots +\left(n^{2}+n-1\right)} _{\left({\frac {n^{2}+n}{2}}\right)^{2}}\\&=(1+2+\cdots +n)^{2}\\&={\bigg (}\sum _{k=1}^{n}k{\bigg )}^{2}.\end{aligned}}}$

У більш новій математичній літературі Штейн (1971) використовує інтерпретацію цих чисел за допомогою підрахунку прямокутників для геометричного доведення тотожності (див. також (see also Бенджамін, Куінн і Вурц 2006); він зазначає, що це можна також легко (але малоінформативно) довести за допомогою індукції, і стверджує, що Тепліц (1963) навів “цікаве старе арабське доведення”. Канім (2004) представив суто візуальне доведення, Бенджамін і Оррісон (2002) навели два додаткових доведення, а Нельсен (1993) ― сім геометричних доведень.

Наприклад, сума перших 5 кубів ― це квадрат 5-го трикутного числа,

${\displaystyle 1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}+5^{3}=15^{2}.}$

Подібний результат можна отримати для суми перших ${\displaystyle y}$ непарних кубів,

${\displaystyle 1^{3}+3^{3}+\dots +(2y-1)^{3}=(xy)^{2},}$

але ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$ має задовольняти від'ємне рівняння Пелля ${\displaystyle x^{2}-2y^{2}=-1}$. Наприклад, якщо ${\displaystyle y=5}$ і 29, то

${\displaystyle 1^{3}+3^{3}+\dots +9^{3}=(7\cdot 5)^{2},}$

${\displaystyle 1^{3}+3^{3}+\dots +57^{3}=(41\cdot 29)^{2},}$

і так далі. Крім того, будь-яке парне досконале число, крім найменшого, є сумою перших ${\displaystyle 2^{\frac {p-1}{2}}}$ непарних кубів ${\displaystyle (p=3,5,7,\ldots )}$:

${\displaystyle 28=2^{2}\left(2^{3}-1\right)=1^{3}+3^{3},}$

${\displaystyle 496=2^{4}\left(2^{5}-1\right)=1^{3}+3^{3}+5^{3}+7^{3},}$

${\displaystyle 8128=2^{6}\left(2^{7}-1\right)=1^{3}+3^{3}+5^{3}+7^{3}+9^{3}+11^{3}+13^{3}+15^{3}.}$

Існують приклади кубів чисел в арифметичній прогресії, сума яких дорівнює кубу:

${\displaystyle 3^{3}+4^{3}+5^{3}=6^{3},}$

${\displaystyle 11^{3}+12^{3}+13^{3}+14^{3}=20^{3},}$

${\displaystyle 31^{3}+33^{3}+35^{3}+37^{3}+39^{3}+41^{3}=66^{3}.}$

У першому прикладі число ${\displaystyle 6^{3}}$ іноді називають загадковим числом Платона. Формула ${\displaystyle F}$ для знаходження суми ${\displaystyle n}$ кубів чисел в арифметичній прогресії із різницею ${\displaystyle d}$ та початковим кубом ${\displaystyle a^{3}}$,

${\displaystyle F(d,a,n)=a^{3}+(a+d)^{3}+(a+2d)^{3}+\cdots +(a+dn-d)^{3},}$

має вигляд

${\displaystyle F(d,a,n)=\left({\frac {n}{4}}\right)\left(2a-d+dn\right)\left(2a^{2}-2ad+2adn-d^{2}n+d^{2}n^{2}\right).}$

Параметричний розв'язок для рівняння

${\displaystyle F(d,a,n)=y^{3}}$

відомий для частинного випадку ${\displaystyle d=1}$ або послідовних кубів, але відомі лише окремі розв'язки для цілих чисел ${\displaystyle d>1}$, такі як ${\displaystyle d=2,3,5,7,11,13,37,39}$ тощо.[9]

У послідовності непарних натуральних чисел 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, ${\displaystyle \dots }$, перше є кубом ${\displaystyle (1=1^{3})}$; сума наступних двох ― це наступний куб ${\displaystyle (3+5=2^{3})}$; сума наступних трьох ― це наступний куб ${\displaystyle (7+9+11=3^{3})}$; і так далі.

Будь-яке додатне раціональне число є сумою трьох додатних раціональних кубів[10], і існують раціональні числа, які не є сумою двох раціональних кубів.[11]

Для дійсних чисел функція куба зберігає порядок: більші числа мають більші куби. Іншими словами, куби (строго) монотонно зростають. Крім того, область значень кубічної функції ― це вся дійсна пряма: функція ${\displaystyle x\mapsto x^{3}\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$ є сюр'єкцією (приймає всі можливі значення).

Лише три числа дорівнюють власним кубам: ${\displaystyle -1}$, 0 та 1. Якщо ${\displaystyle -1<x<0}$ або ${\displaystyle 1<x}$, то ${\displaystyle x^{3}>x}$. Якщо ${\displaystyle x<-1}$ або ${\displaystyle 0<x<1}$, то ${\displaystyle x^{3}<x}$. Всі вищезазначені властивості стосуються також будь-якого вищого непарного степеня ${\displaystyle (x^{5},x^{7},\dots )}$ дійсних чисел. Рівності та нерівності також справедливі для будь-якого впорядкованого кільця.

Об'єми подібних евклідових тіл відносяться як куби їх лінійних розмірів.

Для комплексних чисел куб суто уявного числа також є суто уявним. Наприклад, ${\displaystyle i^{3}=-i}$.

Похідна від ${\displaystyle x^{3}}$ дорівнює ${\displaystyle 3x^{2}}$.

Куби іноді мають сюр'єктивну властивість у випадку інших полів, наприклад у випадку ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ для такого простого ${\displaystyle p}$, що ${\displaystyle p\neq 1}$ ${\displaystyle ({\rm {mod}}\ 3)}$ [12], але не обов'язково: див. контрприклад із раціональними числами вище. Крім того, у ${\displaystyle \mathbb {F} _{7}}$ лише три елементи ${\displaystyle 0}$, ${\displaystyle \pm 1}$ ― це досконалі куби, з семи. ${\displaystyle -1}$, ${\displaystyle 1}$ і ${\displaystyle 0}$ ― завжди досконалі куби та єдині елементи поля, що дорівнюють власним кубам: ${\displaystyle x^{3}-x={x(x-1)\cdot (x+1)}}$

Визначення кубів великих чисел було дуже поширеним у багатьох древніх цивілізаціях. Месопотамські математики створили клинописні таблички з таблицями для обчислення кубів та коренів кубів до старовавилонського періоду (20–16 століття до н.е.).[13][14] Кубічні рівняння були відомі давньогрецькому математику Діофанту.[15] Герон розробив метод обчислення кубічних коренів в 1 столітті н.е.[16] Методи розв'язання кубічних рівнянь та обчислення кубічних коренів представлені в “Дев'яти розділах з математичного мистецтва”, китайському математичному тексті, складеному приблизно у II столітті до н.е. та прокоментованому Лю Хуеєм у III столітті н.e.