Сплайн

Розгляд сплайнів почнемо з визначення алгебраїчного сплайна [ ]: Функція ${\displaystyle S(t)\,}$ визначена і неперервна на відрізку ${\displaystyle [a,b]\,}$ називається поліноміальним сплайном порядку ${\displaystyle m\,}$ з вузлами ${\displaystyle x_{j}\in (a\leq x_{0}<...<x_{n}\leq b)}$, якщо на кожному з відрізків ${\displaystyle [x_{j-1},x_{j})\,}$, ${\displaystyle S(t)\,}$ є алгебраїчним поліномом степені, що не перевищує ${\displaystyle m\,}$, а в кожній з точок ${\displaystyle x_{j}\,}$ деяка похідна ${\displaystyle S^{(v)}(t)\,}$ може мати розрив. Якщо в точці ${\displaystyle x_{j}\,}$ неперервні функції ${\displaystyle S(t),{S^{(i)}}(t),{\rm {}}...{\rm {}}{S^{(m-{k_{I}})}}(t)\,}$, а похідна ${\displaystyle {S^{(m-{k_{I}})}}(t)\,}$ в точці ${\displaystyle x_{j}\,}$ терпить розрив, число ${\displaystyle k=max(k_{i})\,}$ називають дефектом сплайна. Множину ${\displaystyle \{x_{0},x_{1},...,x_{n}\}\,}$ називають сіткою вузлів сплайна, а точки ${\displaystyle x_{j}\,}$ вузлами або точками стикання чи склейки сплайна.

Як слідує з визначення, для побудови сплайна, що складається з ${\displaystyle n-1\,}$ фрагмента потрібно знайти такі значення числових параметрів для кожного фрагмента — полінома степені ${\displaystyle m\,}$, які забезпечать неперервність у вузлах, як самої функції так і необхідних похідних. Отже всього слід визначити ${\displaystyle (n-1)*m\,}$ параметрів. З врахуванням умови інтерполяції та неперервності перших двох похідних визначення параметрів зводиться до розв'язання системи з ${\displaystyle n\,}$ лінійних рівнянь. Як правило, значення коефіцієнтів для відрізків поліномів безпосередньо не розраховуються.

Для визначення інтерполяційного сплайна з неперервною першою похідною достатньо розрахувати значення першої похідної у вузлах. Спосіб визначення похідних у вузлах сплайна визначає широку різноманітність інтерполяційних сплайнів. Часто похідні визначаються не як константи, а як деякі залежності від інтерпольованої функції та сітки інтерполяції.

Якщо значення першої похідної у вузлах розраховувати виходячи з умови неперервності другої похідної (вирішуючи систему з n лінійних рівнянь) то сплайн матиме дві неперервні похідні. Такий спосіб побудови сплайна, як і сам сплайн називають глобальним, оскільки при визначенні кожного з його коефіцієнтів враховується вся множина вузлів інтерполяції.

В інших випадках, для визначення окремого коефіцієнта, враховуються лише найближчі вузли інтерполяції і такі способи побудови, як і самі сплайни, називають локальними. Параметри фрагмента такого сплайна можна визначити незалежно від інших фрагментів.

Найпростішою умовою побудови фрагмента локального сплайна є умова рівності полінома на кінцях відрізків відповідним значенням інтерпольованої функції.

${\displaystyle P_{j}(t_{j})=f(t_{j}),\qquad P_{j}(t_{j-1})=f(t_{j-1})\qquad (1)}$

Для найпростішого сплайна — ламаної цієї умови цілком досить. Два коефіцієнта прямої однозначно визначаються з двох рівнянь. Такий сплайн є локальним. Для поліномів вищих степенів ми повинні додати додаткові умови таким чином, щоб загальне число рівнянь дорівнювало числу коефіцієнтів полінома. Так для сплайна 3-й степені такою умовою є рівність 1-ї похідної на кінцях відрізка деякому значенню, що визначається для сусідніх відрізків однаковим чином (у формулах (2) через значення похідної функції яку наближують).

${\displaystyle P'_{j}(t_{j})=f'(t_{j}),\qquad P'_{j}(t_{j-1})=f'(t_{j-1})\qquad (2)}$

Система з 4-х рівнянь

${\displaystyle \left[{\begin{array}{*{20}{c}}{{P_{j}}({t_{j}})=f({t_{j}})}\\{{P_{j}}({t_{j-1}})=f({t_{j-1}})}\\{{{P'}_{j}}({t_{j}})=f'({t_{j}})}\\{{{P'}_{j}}({t_{j-1}})=f'({t_{j-1}})}\\\end{array}}\right]\qquad (3)}$

дозволяє однозначно визначити 4 коефіцієнти полінома. Для полінома 5-ї степені ми повинні додатково накласти умову рівності 2-ї похідної на кінцях відрізка і т. д. Наведене вище показує, чому сплайн будують переважно з поліномів непарних степенів (з парною кількістю коефіцієнтів).

Для поліномів парних степенів при складанні системи (3) залишається невизначеною похідна в одному з кінців відрізка і умова рівності похідних (гладкості кривої) не виконуватиметься. Тому для полінома 2-ї степені неможливо досягти рівності першої похідної в точках стику, а для 4-ї степені другої похідної і так далі, виходячи з системи рівнянь (3). Для побудови сплайнів з парними степенями штучно додають додаткові умови щоб сформувати систему рівнянь подібну (3). Коли похідні полінома сплайна визначаються як відповідні похідні інтерпольованої функції, то сплайн є ермітовим.

${\displaystyle P_{j}^{(n)}({t_{j}})={f^{n}}({t_{j}}),\qquad P_{j}^{(n)}({f_{j-1}})={f^{n}}({t_{j-1}})\qquad (4)}$

Існують локальні методи побудови сплайнів Бесселя та Акіми, B — сплайни [] . В основному, коли йде мова про сплайни, то мають на увазі сплайни, побудовані з алгебраїчних поліномів. Саме до таких належить приведене вище визначення. Саме ці сплайни є найбільше вивченими. Проте сплайн може складатися з фрагментів функцій будь-якого класу. В [] розглянуто побудову таких сплайнів, та досліджуються їхні властивості. Автор не дає загального визначення побудованих сплайнів. Очевидно, що для довільних класів функцій з яких складається сплайн наведене на початку статті визначення не зовсім годиться. Якщо, наприклад, сплайн складається з відрізків експоненти то поняття дефекту сплайна втрачає зміст. Хоча кількість неперервних похідних залишиться важливою характеристикою. Побудова сплайна, фрагментами якого є розривні функції (раціональні функції, функції Паде) дещо виходить за рамки сплайнової ідеї, оскільки однією з основних переваг сплайнів є їхня гладкість. Якщо довільно розширювати такі конструкції, то стираються відмінності сплайнів від кускових функцій. Іншою перевагою сплайнів є ефективність обчислень. Надмірне ускладнення фрагментів суттєво знижує переваги сплайнів перед класичними функціями.

Для сплайнів є характерними такі ознаки: сплайн складається з фрагментів — функцій одного класу, які різняться лише своїми параметрами; на сусідні фрагменти в точках стикування накладаються певні умови, що зводяться до неперервності значень та деяких перших похідних. Сплайни — напрямок прикладної математики, що інтенсивно розвивається. В Internet міститься широка бібліографія щодо сплайнів (Spline Bibliography Database (SBD)).

Як зазначалося вище, існує велика кількість конструкцій, які називають сплайнами. Тому зробимо спробу внести певну класифікацію в це різноманіття, маючи на меті виділити ті ознаки, які дозволять вибрати сплайни найпридатніші для конкретної прикладної задачі.

Вид фрагментів сплайна. Те що сплайн складається з фрагментів однакового виду є однією з ключових ознак, що відрізняє його від інших кускових функцій. Найвідоміші сплайни, що складаються з фрагментів — алгебраїчних поліномів не вище заданого степеня. Як правило це кубічні поліноми, або поліноми непарних степенів - лінійний, кубічний, п'ятого степеня. Вищі степені застосовують рідко, зважаючи на ускладнення розрахунків та складнощі описані в попередньому розділі. Основною їхньою перевагою є простота розрахунків та аналізу. Недоліком є те, що відносно мало реальних фізичних процесів відповідають цій залежності.

В ряді випадків розглядають функції які є близько до межі між сплайнами і звичайними функціями та сплайнами і кусковими функціями. Це:

1) сплайни, що складаються з двох фрагментів. Мають спрощений варіант побудови, але особливу увагу слід приділяти крайовим умовам;

2) Кусково стала сплайн-функція не має неперервності навіть значень. Тривіальний варіант, що не має основної переваги сплайнів — гладкості. Так само, як і ламана має скоріше методичне значення для освоєння технології роботи зі сплайнами.

• Крива Безьє
• Кубічний сплайн
• Кубічні сплайни Ерміта
• B-сплайн
• NURBS

• Неперервне й гладке мінімаксне сплайн-наближення / П. С. Малачівський, В. В. Скопецький ; [відп. ред.] І. В. Сергієнко; НАН України, Ін-т кібернетики ім. В. М. Глушкова, Центр мат. моделювання Ін-ту приклад. пробл. механіки і математики ім. Я. С. Підстригача. – К. : Наук. думка, 2013. – 271 с. : табл. – (Проект "Наукова книга"). – Бібліогр.: с. 251-266 (278 назв). – ISBN 978-966-00-1243-1
• Сплайн-функції та їхнє застосування : навч. посіб. / Б. П. Довгий, А. В. Ловейкін, Є. С. Вакал, Ю. Є. Вакал. – К. : Київський ун-т, 2017. – 120 с.
• Роджерс Д.,Адамс Дж. (2001). Математические основы машинной графики (вид. друге). Москва: Мир. с. 604 с. ISBN 5-03-002143-4.
• I.Schoenberg (1946). Contribution to the problem of approximation of equidistant data by analytic functions. Quart.Appl.Math.,4.
• I.J. Schoenberg (1973). Cardinal spline interpolation. Philadelphia: PA:Society of Industrial and Applied Mathematics.
• Де Бор К. (1985). Практическое руководство по сплайнам. Москва: Радио и связь. с. 304.
• Корнейчук Н.П. (1984). Сплайны в теории приближения. Москва: Наука. с. 352.

• spline bibliography
• Larry L. Schumaker
• Carl de Boor
• Biomedical Imaging Group