Лема Сінга

Нехай ${\displaystyle \gamma \colon [0;1]\to M}$ - геодезична в рімановому многовиді ${\displaystyle M}$ з додатною секційною кривиною і ${\displaystyle V}$ - паралельне поле дотичних векторів на ${\displaystyle \gamma }$. Тоді варіація ${\displaystyle \gamma }$ в напрямку ${\displaystyle V}$ скорочує її довжину.

Точніше, якщо

${\displaystyle \gamma _{\tau }(t)=\exp _{\gamma (t)}(\tau \cdot V(t))}$

і ${\displaystyle L(\tau )}$ позначає довжину кривої ${\displaystyle \gamma _{\tau }}$ тоді ${\displaystyle L'(0)=0}$ і ${\displaystyle L''(0)<0}$.

• Якщо замкнута геодезична, яка допускає паралельне векторне поле, не є стабільною, тобто її довжину можна зменшити довільно малою деформацією.^{[уточнити]} Зокрема,
  • Парновимірні орієнтовані ріманові многовиди з додатною секційною кривиною однозв'язні.
  • Непарновимірні ріманові многовиди з додатною секційною кривиною орієнтовані.
• Лему Сінга використовував також Теодор Франкель[2] для доведення того, що, якщо ${\displaystyle V}$ і ${\displaystyle W}$ є замкнутими геодезичними підмноговидами в рімановому мнгоговиді ${\displaystyle M}$ з додатною секційною кривиною і ${\displaystyle \dim V+\dim W\geq \dim M}$, то ${\displaystyle V}$ і ${\displaystyle W}$ перетинаються.