Лема Сінга
Лема Сінга - ключове твердження про стабільність замкнутих геодезичних у ріманових многовидах із додатною секційною кривиною.
Лема є прямим наслідком формули для другої варіації довжин однопараметричного сімейства кривих.
Її використовував Джоном Сінгом.[1]
Формулювання
Нехай - геодезична в рімановому многовиді з додатною секційною кривиною і - паралельне поле дотичних векторів на . Тоді варіація в напрямку скорочує її довжину.
Точніше, якщо
і позначає довжину кривої тоді і .
Наслідки
- Якщо замкнута геодезична, яка допускає паралельне векторне поле, не є стабільною, тобто її довжину можна зменшити довільно малою деформацією.[уточнити] Зокрема,
- Парновимірні орієнтовані ріманові многовиди з додатною секційною кривиною однозв'язні.
- Непарновимірні ріманові многовиди з додатною секційною кривиною орієнтовані.
- Лему Сінга використовував також Теодор Франкель[2] для доведення того, що, якщо і є замкнутими геодезичними підмноговидами в рімановому мнгоговиді з додатною секційною кривиною і , то і перетинаються.
Примітки
- Synge, John Lighton (1936). On the connectivity of spaces of positive curvature. Quarterly Journal of Mathematics (Oxford Series) 7: 316–320. doi:10.1093/qmath/os-7.1.316.
- Frankel, Theodore. Manifolds with positive curvature // Pacific J. Math.. — 1961. — Vol. 11 (23 January). — P. 165–174.
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.