Геодезична лінія

В охоплюючому многовид евклідовому просторі рівняння кривої задається функцією радіус-вектора ${\displaystyle \mathbf {r} }$ точки кривої від параметра ${\displaystyle t}$ кривої: ${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} (t)}$. Оскільки ця крива також лежить на ${\displaystyle n}$-вимірному многовиді, який задається рівнянням: ${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} (u^{1},u^{2},...u^{n})}$, то рівняння кривої дається функціями координат многовиду від параметра кривої ${\displaystyle t}$:

${\displaystyle (1)\qquad u^{i}=u^{i}(t)\qquad i=1,2,...n}$

Вектор кривини кривої є другою похідною від радіус-вектора по натуральному параметру ${\displaystyle s}$ кривої):

${\displaystyle \qquad \mathbf {k} ={d^{2}\mathbf {r} \over ds^{2}}}$

Одиничний вектор ${\displaystyle n}$ вздовж вектора кривини ${\displaystyle \mathbf {k} }$ є головною нормаллю кривої.

Вектор кривини ${\displaystyle \mathbf {k} }$ можна розкласти на дві частини: паралельну до многовиду й ортогональну до нього.

${\displaystyle \qquad \mathbf {k} =\mathbf {k} _{||}+\mathbf {k} _{\bot }}$

Паралельна частина кривини ${\displaystyle \mathbf {k} _{||}}$ називається геодезичною кривиною кривої. Згідно з означенням, для геодезичної лінії вона дорівнює нулю.

Обчислимо геодезичну кривину:

${\displaystyle (2)\qquad \mathbf {k} ={d^{2}\mathbf {r} (u(t)) \over ds^{2}}={d \over ds}\left(\mathbf {r} _{i}{du^{i} \over ds}\right)=\mathbf {r} _{i}{d^{2}u^{i} \over ds^{2}}+\mathbf {r} _{ij}{du^{i} \over ds}{du^{j} \over ds}=({d^{2}u^{i} \over ds^{2}}+\Gamma _{jk}^{i}{du^{j} \over ds}{du^{k} \over ds})\mathbf {r} _{i}+\mathbf {b} _{ij}{du^{i} \over ds}{du^{j} \over ds}}$

Отже контраваріантні координати геодезичної кривини дорівнюють:

${\displaystyle (3)\qquad k^{i}={d^{2}u^{i} \over ds^{2}}+\Gamma _{jk}^{i}{du^{j} \over ds}{du^{k} \over ds}}$

Найкоротшою лінією на многовиді, що сполучає дві точки многовида, є відрізок геодезичної лінії.

Розглянемо варіацію функціонала довжини кривої, параметр кривої ${\displaystyle t}$ пробігає значення від ${\displaystyle a}$ до ${\displaystyle b}$:

${\displaystyle (4)\qquad S=\int _{a}^{b}{\dot {\mathbf {r} }}\,dt}$${\displaystyle =\int _{a}^{b}{\sqrt {{\dot {\mathbf {r} }}^{2}}}\;dt}$

У точці локального екстремуму перша варіація дорівнює нулю (для спрощення запису в наступних перетвореннях не будемо писати межі інтегрування).

${\displaystyle (5)\qquad \delta S=\int \delta {\sqrt {{\dot {\mathbf {r} }}^{2}}}\;dt=\int {{\dot {\mathbf {r} }} \over |{\dot {\mathbf {r} }}|}\cdot \delta {\dot {\mathbf {r} }}\;dt=-\int ({d \over dt}{{\dot {\mathbf {r} }} \over |{\dot {\mathbf {r} }}|})\cdot \delta \mathbf {r} \;dt=-\int {d^{2}\mathbf {r} \over ds^{2}}\cdot \delta \mathbf {r} \;ds=-\int \mathbf {k} \cdot \delta \mathbf {r} \;ds}$

В останній формулі варіація точок кривої ${\displaystyle \delta \mathbf {r} }$ лежить у дотичному до многовида афінному просторі, і ми можемо записати:

${\displaystyle \delta \mathbf {r} =\mathbf {r} _{i}\delta u^{i}}$

Оскільки варіації ${\displaystyle \delta u^{i}}$ довільні (хоча малі), то для рівності нулю останнього інтеграла в формулі (5) треба, щоб вектор кривини кривої (2) був ортогональним до многовиду, тобто геодезична кривина (3) дорівнювала нулю:

${\displaystyle (6)\qquad {d^{2}u^{i} \over ds^{2}}+\Gamma _{jk}^{i}{du^{j} \over ds}{du^{k} \over ds}=0}$

Формула (6) є рівнянням геодезичної лінії — диференційним рівнянням відносно невідомих функцій ${\displaystyle u^{i}=u^{i}(s)}$ при заданій метриці на многовиді (а отже і заданих символах Крістофеля ${\displaystyle \Gamma _{jk}^{i}}$).

Повторимо обчислення варіації довжини кривої (4), але тепер будемо враховувати одночасно доданки першого й другого порядків. Для обчислень нам знадобиться розклад у ряд Тейлора (до членів другого порядку включно) функції квадратного кореня ${\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}}$:

${\displaystyle f(x+\Delta x)={\sqrt {x+\Delta x}}\approx {\sqrt {x}}+{1 \over 2{\sqrt {x}}}\Delta x-{1 \over 8x^{3 \over 2}}(\Delta x)^{2}}$

Підінтегральний вираз формули (4) для проварійованої кривої дорівнює:

${\displaystyle \qquad {\sqrt {({\dot {\mathbf {r} }}+\delta {\dot {\mathbf {r} }})^{2}}}={\sqrt {{\dot {\mathbf {r} }}^{2}+(2({\dot {\mathbf {r} }}\cdot \delta {\dot {\mathbf {r} }})+(\delta {\dot {\mathbf {r} }})^{2})}}}$

або, розкладаючи в ряд з точністю до членів другого порядку:

${\displaystyle (7)\qquad {\sqrt {({\dot {\mathbf {r} }}+\delta {\dot {\mathbf {r} }})^{2}}}\approx |{\dot {\mathbf {r} }}|+{1 \over 2|{\dot {\mathbf {r} }}|}(2({\dot {\mathbf {r} }}\cdot \delta {\dot {\mathbf {r} }})+(\delta {\dot {\mathbf {r} }})^{2})-{1 \over 8|{\dot {\mathbf {r} }}|^{3}}(2({\dot {\mathbf {r} }}\cdot \delta {\dot {\mathbf {r} }})^{2}+(\delta {\dot {\mathbf {r} }})^{2}))\approx |{\dot {\mathbf {r} }}|+{{\dot {\mathbf {r} }} \over |{\dot {\mathbf {r} }}|}\delta {\dot {\mathbf {r} }}+{1 \over 2|{\dot {\mathbf {r} }}|^{3}}({\dot {\mathbf {r} }}^{2}(\delta {\dot {\mathbf {r} }})^{2}-({\dot {\mathbf {r} }}\cdot \delta {\dot {\mathbf {r} }})^{2})}$

Розглянемо детальніше середній доданок в останньому виразі. У ньому ми маємо одиничний дотичний вектор ${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}={{\dot {\mathbf {r} }} \over |{\dot {\mathbf {r} }}|}={d\mathbf {r} \over ds}}$.

${\displaystyle \int _{a}^{b}({\boldsymbol {\tau }}\cdot \delta {\dot {\mathbf {r} }})\;dt=-\int _{a}^{b}{d{\boldsymbol {\tau }} \over dt}\cdot \delta \mathbf {r} \;dt=-\int _{0}^{S}\mathbf {k} \cdot \delta \mathbf {r} \;ds}$

Варіація ${\displaystyle \delta \mathbf {r} }$ за формулою Тейлора виражається через варіацію ${\displaystyle \delta u^{i}}$ координат на многовиді з точністю до членів другого порядку:

${\displaystyle \delta \mathbf {r} \approx \mathbf {r} _{i}\delta u^{i}+{1 \over 2}\mathbf {r} _{ij}\delta u^{i}\delta u^{j}}$

Збираючи все докупи, знаходимо першу й другу варіації, при цьому вважаючи параметр кривої натуральним:

${\displaystyle (8)\qquad S(u+\delta u)=S(u)+\delta S+{1 \over 2}\delta ^{2}S+\cdots }$

${\displaystyle (9)\qquad \delta S=-\int k_{i}\delta u^{i}\;ds}$

${\displaystyle (10)\qquad \delta ^{2}S=\int \left(-\mathbf {k} \cdot (\Gamma _{ij}^{s}\mathbf {r} _{s}+\mathbf {b} _{ij})\delta u^{i}\delta u^{j}+(\delta {\boldsymbol {\tau }})^{2}-({\boldsymbol {\tau }}\cdot \delta {\boldsymbol {\tau }})\right)\;ds}$

Другу варіацію можна повністю подати через варіації координат ${\displaystyle \delta u^{i},\delta {\dot {u}}^{i}=\delta \tau ^{i}}$ .

${\displaystyle \delta {\boldsymbol {\tau }}=\delta (\mathbf {r} _{i}\tau ^{i})=\mathbf {r} _{i}\delta \tau ^{i}+\mathbf {r} _{ij}\tau ^{i}\delta u^{j}=(\delta \tau ^{i}+\Gamma _{jk}^{i}\tau ^{k}\delta u^{j})\mathbf {r} _{i}+\mathbf {b} _{ij}\tau ^{i}\delta u^{j}}$

Позначимо ${\displaystyle \qquad D\tau ^{i}}$ варіацію одиничного дотичного вектора (разом із паралельним переносом на варіацію зміщення)

${\displaystyle (11)\qquad D\tau ^{i}=\delta \tau ^{i}+\Gamma _{jk}^{i}\tau ^{k}\delta u^{j}}$

Тоді обчислюємо, враховуючи ортогональність векторів ${\displaystyle \mathbf {r} _{i},\mathbf {b} _{jk}}$:

${\displaystyle (\delta {\boldsymbol {\tau }})^{2}=(D\tau ^{i}\mathbf {r} _{i}+b_{ij}\tau ^{i}\delta u^{j})^{2}=g_{ij}D\tau ^{i}D\tau ^{j}+(\mathbf {b} _{ij}\cdot \mathbf {b} _{kl})\tau ^{i}\tau ^{k}\delta u^{j}\delta u^{l}}$

${\displaystyle ({\boldsymbol {\tau }}\cdot \delta {\boldsymbol {\tau }})=g_{ij}\tau ^{i}D\tau ^{j}}$

І нарешті враховуємо зв'язок тензора Рімана через вектори повної кривини:

${\displaystyle R_{ijkl}=(\mathbf {b} _{ik}\cdot \mathbf {b} _{jl})-(\mathbf {b} _{il}\cdot \mathbf {b} _{jk})}$

Підставляємо обчислені вирази в другу варіацію:

${\displaystyle (12)\qquad \delta ^{2}S=\int \left(-\Gamma _{ij}^{s}k_{s}\delta u^{i}\delta u^{j}+{1 \over 2}g_{ij}g_{kl}(\tau ^{i}\wedge D\tau ^{k})(\tau ^{j}\wedge D\tau ^{l})-{1 \over 4}R_{ijkl}(\tau ^{i}\wedge \delta u^{j})(\tau ^{k}\wedge \delta u^{l})\right)\;ds}$

Де введено позначення зовнішнього добутку векторів — бівектора, або орієнтованої площадки, побудованої на двох векторах:

${\displaystyle a^{i}\wedge b^{j}=a^{i}b^{j}-a^{j}b^{i}}$

В формулу (9) для першої варіації входить скалярний добуток геодезичної кривини на варіацію координати. Якщо поблизу геодезичної лінії провести хвилясту лінію, близьку до синусоїди з частотою ${\displaystyle \omega }$, то для цієї хвилястої лінії матимемо приблизно таку геодезичну кривину: ${\displaystyle k^{i}\approx -\omega ^{2}\delta u^{i}}$. У цьому випадку скалярний добуток буде від'ємним (в евклідовому просторі): ${\displaystyle k_{i}\delta u^{i}\approx -\omega ^{2}(\delta u^{i})^{2}}$, а перша варіація (9) відповідно додатня: ${\displaystyle \delta S>0}$. Це означає, що хвиляста лінія завжди довша за геодезичну. (Звичайно, в псевдоевклідовому просторі це не так, оскільки квадрат вектора може бути як додатнім, так і від'ємним. У загальній теорії відносності тіла рухаються по геодезичній не тому, що так коротше, а з іншої причини — за інтерференційним принципом Гюйгенса для хвиль, адже нульова перша варіація означає, що при русі двох хвиль близькими траєкторіями фаза хвиль збігається).

У формулі другої варіації (10) для геодезичної лінії перший доданок у підінтегральному виразі перетворюється на нуль. Другий доданок завжди додатній, як квадрат бівектора ${\displaystyle \tau ^{i}\wedge D\tau ^{j}}$. Третій доданок може бути як додатнім, так і від'ємним. Зокрема, у плоскому просторі тензор Рімана дорівнює нулю ${\displaystyle R_{ijkl}=0}$, тому друга варіація завжди додатна, а отже будь-який відрізок геодезичної є локально найкоротшою лінією. Якщо ж третій доданок від'ємний, то може трапитись, що між точками можна провести іншу лінію, яка буде коротшою за першу. Наприклад, дуга великого кола на двовимірній сфері є геодезичною лінією: якщо така дуга коротша за ${\displaystyle \pi R}$, то вона буде найкоротшим шляхом між двома точками; якщо дуга дорівнює ${\displaystyle \pi R}$, то між двома точками (полюсами) можна провести багато однакових за довжиною геодезичних ліній (меридіанів); якщо ж довжина дуги великого кола більша ${\displaystyle \pi R}$, то кінцеві точки можна сполучити іншою дугою (близькою до геодезичної), яка матиме меншу довжину.

Взагалі можна довести, що на будь-якому многовиді досить короткий відрізок геодезичної завжди буде найкоротшим шляхом (на одиничній сфері «досить короткий» означає довжину менше π).

Формула (6) справедлива для натурального параметра (тобто параметра довжини лінії), або для параметра, що пропорційний довжині лінії з одним і тим же коефіцієнтом пропорційності в усіх точках лінії. Але нам може знадобитися також і не натуральний параметр геодезичної лінії, наприклад якщо на двомірному многовиді (поверхні) задано координати ${\displaystyle x,y}$ і ми шукаємо рівняння геодезичної у формі ${\displaystyle y=y(x)}$.

Похідні по параметру ${\displaystyle t}$ будемо позначати крапкою вгорі. Маємо такий зв'язок з похідними по натуральному параметру:

${\displaystyle {du^{i} \over ds}={{\dot {u}}^{i} \over {\dot {s}}}}$

${\displaystyle {d^{2}u^{i} \over ds^{2}}={d \over ds}\left({{\dot {u}}^{i} \over {\dot {s}}}\right)={1 \over {\dot {s}}}{d \over dt}\left({{\dot {u}}^{i} \over {\dot {s}}}\right)={1 \over {\dot {s}}^{2}}({\ddot {u}}^{i}-{{\ddot {s}} \over {\dot {s}}}{\dot {u}}^{i})}$

Підставляючи ці похідні в формулу (6) і помножуючи на ${\displaystyle {\dot {s}}^{2}}$, одержимо:

${\displaystyle (13)\qquad {\ddot {u}}^{i}-{{\ddot {s}} \over {\dot {s}}}{\dot {u}}^{i}+\Gamma _{jk}^{i}{\dot {u}}^{j}{\dot {u}}^{k}=0}$

Зауважимо, що формула (13), не розв'язана відносно других похідних, оскільки другі похідні координат входять в ${\displaystyle {\ddot {s}}}$.

Виберемо на поверхні, заданої рівнянням ${\displaystyle z=z(x,y)}$ координати ${\displaystyle u^{1}=x,\;u^{2}=y}$. Квадрат елемента довжини запишеться (частинні похідні позначаємо індексом внизу ${\displaystyle z_{x}={\partial z/\partial x},\;z_{y}={\partial z/\partial y}}$):

${\displaystyle \qquad ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}=(1+z_{x}^{2})dx^{2}+2z_{x}z_{y}dxdy+(1+z_{y}^{2})dy^{2}}$

Звідки метричний тензор:

${\displaystyle \qquad g_{ij}=\delta _{ij}+z_{i}z_{j}}$

Цей тензор має два власні вектори : ${\displaystyle z_{i}}$ і ортогональний до нього ${\displaystyle a_{i}}$. Маємо:

${\displaystyle \qquad \sum _{j}g_{ij}z_{j}=z_{i}+z_{i}\sum _{j}z_{j}^{2}=\lambda z_{i}}$

де власне число

${\displaystyle \qquad \lambda =1+\sum _{i}z_{i}^{2}=1+z_{x}^{2}+z_{y}^{2}}$

Для ортогонального вектора ${\displaystyle a_{i}}$ власне число дорівнює одиниці:

${\displaystyle \qquad \sum _{j}g_{ij}a_{j}=a_{i}+z_{i}\sum _{j}z_{j}a_{j}=a_{i}}$

Визначник метричного тензора дорівнює добутку цих двох власних чисел:

${\displaystyle \qquad g=\det(g_{ij})=1\cdot \lambda =1+z_{x}^{2}+z_{y}^{2}}$

Тепер ми можемо знайти символи Крістофеля:

${\displaystyle \qquad \Gamma _{jk,i}={1 \over 2}(\partial _{j}g_{ik}+\partial _{k}g_{ij}-\partial _{i}g_{jk})={1 \over 2}(\partial _{j}(z_{i}z_{k})+\partial _{k}(z_{i}z_{j})-\partial _{i}(z_{j}z_{k}))=z_{i}z_{jk}}$

Оскільки вектор градієнта ${\displaystyle z_{i}}$ буде власним вектором для оберненої матриці ${\displaystyle g^{ij}}$ з власним числом ${\displaystyle {1 \over \lambda }={1 \over g}}$, то легко знаходяться і символи Крістофеля з верхніми індексами:

${\displaystyle (14)\qquad \Gamma _{jk}^{i}=g^{is}\Gamma _{jk,s}=(g^{is}z_{s})z_{jk}=z_{i}{z_{jk} \over g}}$

Користуючись щойно написаною формулою, ми можемо записати формулу (13) геодезичної лінії, з параметром ${\displaystyle t=x=u^{1}}$, помітивши, що:

${\displaystyle \qquad {\dot {u}}^{1}=x\,'=1,\qquad {\dot {u}}^{2}=y\,',\qquad {\ddot {u}}^{1}=0,\qquad {\ddot {u}}^{2}=y\,''}$

Таким чином, маємо два рівняння:

${\displaystyle (15)\qquad {\ddot {u}}^{1}-{{\ddot {s}} \over {\dot {s}}}{\dot {u}}^{1}+\Gamma _{jk}^{1}{\dot {u}}^{j}{\dot {u}}^{k}=-{{\ddot {s}} \over {\dot {s}}}+{z_{x} \over g}\Phi =0}$

${\displaystyle (16)\qquad {\ddot {u}}^{2}-{{\ddot {s}} \over {\dot {s}}}{\dot {u}}^{2}+\Gamma _{jk}^{2}{\dot {u}}^{j}{\dot {u}}^{k}=y\,''-{{\ddot {s}} \over {\dot {s}}}y\,'+{z_{y} \over g}\Phi =0}$

Де введено позначення:

${\displaystyle \qquad \Phi =z_{jk}{\dot {u}}^{i}{\dot {u}}^{k}=z_{xx}+2z_{xy}y\,'+z_{yy}y\,'^{2}}$

Обчислюючи ${\displaystyle {\ddot {s}} \over {\dot {s}}}$ можна показати, що рівняння (15) і (16) еквівалентні між собою, і еквівалентні простішому рівнянню, яке утворюється при відніманні від (16) рівняння (15), домноженого на похідну ${\displaystyle y\,'}$.

${\displaystyle \qquad y\,''+{(z_{y}-z_{x}y\,')\Phi \over g}=0}$

звідки

${\displaystyle \qquad gy\,''=(z_{x}y\,'-z_{y})\Phi }$

${\displaystyle (17)\qquad (1+z_{x}^{2}+z_{y}^{2})y\,''=(z_{x}y\,'-z_{y})(z_{xx}+2z_{xy}y\,'+z_{yy}y\,'^{2})}$

• Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. — М.: Наука, 1980. — 976 с., ил.
• Мала гірнича енциклопедія : у 3 т. / за ред. В. С. Білецького. — Д. : Донбас, 2004. — Т. 1 : А — К. — 640 с. — ISBN 966-7804-14-3.