Лема про вкладені відрізки
Лема про вкладені відрізки
Загальне формулювання
Нехай існують монотонно зростаюча варіанта та монотонно спадна варіанта , причому завжди
. (Посилання 1)
Якщо їхня різниця прямує до 0, тоді обидві варіанти мають спільну границю:
Допоміжна теорема для доведення
Якщо варіанти та мають кінцеві границі:
, ,
то і сума (різниця) їх також мають кінцеву границю, причому
Доведення
З умови теореми випливає, що
, , (посилання 2)
де , - нескінченно малі. Тоді
Тут є нескінченно мала по лемі 2. Тоді, користуючись визначенням границі, можна стверджувати, що варіанта має границю, що дорівнює , що і потрібно було довести.
Доведення
Дійсно, при всіх значеннях n маємо: , а значить, зважаючи на (1), і . Зростаюча змінна виявляється обмеженою згори, відповідно, вона має кінцеву границю .
Аналогічно, для спадної змінної будемо мати , так що і вона прямує до кінцевою границі .
Але, відповідно до допоміжної теореми, різниця обох границь
тобто, за умовами рівна 0, так що , що і треба було довести.
Класичне формулювання
Доведеному твердженню можна придати іншу форму, в якому воно частіше застосовується.
Назвемо проміжком [a,b] (де a < b) множину всіх чисел x, що задовольняють нерівностям . Числа (або "точки") a та b називаються, відповідно, лівим та правим кінцями проміжку, а їх різниця b - a - довжиною проміжку. Неважко бачити, що на числовій осі проміжку відповідає відрізок (тої ж довжини).
Домовимося говорити, що відрізок міститься в відрізку [a,b], або вкладений в нього, якщо всі точки першого відрізка належать іншому, або, що теж саме, якщо
Нехай існує нескінченна послідовність вкладених один в один відрізків так, що кожний наступний міститься в попередньому, при чому довжина цих відрізків прямує до 0 зі зростанням n:
Тоді кінці та відрізків (з різних боків) прямують до спільної границі
,
що являє собою єдину точку, загальну для всіх проміжків.
Це лише перефразування доведеної вище теореми. Згідно з умовою,
так що лівий кінець та правий кінець n-го відрізка грають тут роль монотонних варіант та .
Так як прямує до c зростаючи, а зменшуючись, то
тобто точка c дійсно належить всім нашим відрізкам. В той же час, іншої, відмінної від c, точки з тими ж властивостями бути не може, бо інакше ми мали б:
і довжина n-го відрізку не могла б прямувати до 0.
Джерела
- Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — Москва : Наука, 1962. — Т. 1. — 607 с.(рос.)