Логіка Лукашевича

Логіка Лукашевича — багатозначна логіка, як спочатку була визначена Яном Лукашевичем як тризначна логіка, а потім узагальнена до скінченної n-значної логіки, та до нескінченної дійснозначної логіки як для числення висловлень та логіки першого порядку.

Операціями логіки Лукашевича є:

імплікація

\rightarrow

заперечення

\neg

еквівалентність

\leftrightarrow

слаба кон'юнкція

\wedge

сильна кон'юнкція

\otimes

слаба диз'юнкція

\vee

сильна диз'юнкція

\oplus

та константи ${\overline {0}}$ та ${\overline {1}}$ .

Наявність слабої та сильної кон'юнкції та диз'юнкції є загальною рисою всіх підструктурних логік без правила скорочення, до яких належить логіка Лукашевича.

Аксіоми

Початкова система аксіом для нескінченно-значної логіки висловлень Лукашевича використовувала імплікацію та заперечення як основні логічні операції:

~A\rightarrow (B\rightarrow A)

~(A\rightarrow B)\rightarrow ((B\rightarrow C)\rightarrow (A\rightarrow C))

~((A\rightarrow B)\rightarrow B)\rightarrow ((B\rightarrow A)\rightarrow A)

~(\neg B\rightarrow \neg A)\rightarrow (A\rightarrow B).

Дійснозначний випадок

У дійснозначній логіці Лукашевича логічними значеннями є дійсні числа від 0 до 1. Операції визначаються як функції:

Імплікація: $F_{\rightarrow }(x,y)=\min\{1,1-x+y\}$
Еквівалентність: $F_{\leftrightarrow }(x,y)=1-|x-y|$
Заперечення: $F_{\neg }(x)=1-x$
Слабка кон'юнкція: $F_{\wedge }(x,y)=\min\{x,y\}$
Слабка диз'юнкція: $F_{\vee }(x,y)=\max\{x,y\}$
Сильна кон'юнкція: $F_{\otimes }(x,y)=\max\{0,x+y-1\}$
Сильна диз'юнкція: $F_{\oplus }(x,y)=\min\{1,x+y\}.$

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.