Лінійний інтеграл

Визначення лінійного інтеграла

Нехай у просторовій області визначено безперервне векторне поле  гладка крива, розташована в . Лінійним інтегралом поля уздовж лінії називається криволінійний інтеграл по довжині дуги від скалярного твори на одиничний дотичний вектор .

Як і потік, цей інтеграл може представлятися по-різному. Так, якщо врахувати, що похідна на дає зміна радіуса-вектора точки , тобто ,то і Отже, лінійний інтеграл може бути виражений і через лінійний інтеграл по координатах.

Фізичний сенс лінійного інтеграла

якщо  — силове поле, то дорівнює роботі цього поля при переміщенні матеріальної точки вздовж лінії см. розділ Потрійні інтеграли.

Основні властивості лінійного інтеграла

1)лінійність

2)адитивність

. 

Направлення на кожній з частин і має бути таким же, як і на всій кривій ,

3). При зміні напрямку вздовж лінійний інтеграл змінює знак.

Це випливає з того, що вектор змінюється на .

4). Якщо  — векторна лінія поля і рух відбувається в напрямку поля, то . У цьому випадку вектор колінеарний , тому .

Обчислення лінійного інтеграла

Як і будь-який криволінійний інтеграл, лінійний інтеграл обчислюється зведенням до певного інтеграла по параметру на кривій, зазвичай обчислюють криволінійний інтеграл . Якщо крива при параметричному завданні має вигляд

 - безперервно диференціюються, то 

Напрямок інтегрування визначається напрямом руху по кривій.

Циркуляція векторного поля

Циркуляцією називається лінійний інтеграл векторного поля по замкнутій кривій .

Зазвичай кажуть, що циркуляція характеризує обертальну здатність поля. Мається на увазі наступне. Якщо векторні лінії поля замкнені, то, як ми бачили, циркуляція по ним в напрямку поля позитивна, при цьому в гідродинамічної інтерпретації частки рідини крутяться по цим замкнутим лініях. Нехай тепер лінії струму довільні, уявімо в обсязі замкнутий контур . Якщо в результаті руху рідини цей контур буде обертатися, то поле володіє обертальної здатністю, абсолютна величина циркуляції визначатиме кутову швидкість обертання {чим більше | |, тим вище швидкість}, знак циркуляції покаже, чи збігається напрямок обертання з напрямком інтегрування.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.