Лінійний інтеграл

Нехай у просторовій області ${\displaystyle \mathbf {\textit {V}} }$ визначено безперервне векторне поле ${\displaystyle {\bar {a}}(\mathbf {\textit {M}} ),\mathbf {\textit {L}} }$ — гладка крива, розташована в ${\displaystyle \mathbf {\textit {V}} }$. Лінійним інтегралом поля ${\displaystyle {\bar {a}}}$ уздовж лінії ${\displaystyle \mathbf {\textit {L}} }$ називається криволінійний інтеграл по довжині дуги від скалярного твори ${\displaystyle {\bar {a}}(\mathbf {\textit {M}} )}$ на одиничний дотичний вектор ${\displaystyle {\bar {\tau }}(\mathbf {\textit {M}} ):W=\int \limits _{L}{{\bar {a}}(M)\cdot {\bar {\tau }}(M)\,ds}}$.

Як і потік, цей інтеграл може представлятися по-різному. Так, якщо врахувати, що похідна ${\displaystyle {\bar {\tau }}(M)}$ на ${\displaystyle ds}$ дає зміна радіуса-вектора точки ${\displaystyle \mathbf {\textit {M}} }$, тобто ${\displaystyle {\bar {\tau }}\cdot ds=d{\bar {r}}=dx{\bar {i}}+dy{\bar {j}}+dz{\bar {k}}}$,то ${\displaystyle W=\int \limits _{L}{{\bar {a}}(M)d{\bar {r}}}}$ і ${\displaystyle W=\int \limits _{L}{Pdx+Qdy+Rdz}}$ Отже, лінійний інтеграл може бути виражений і через лінійний інтеграл по координатах.

якщо ${\displaystyle {\bar {a}}(\mathbf {\textit {M}} )}$ — силове поле, то ${\displaystyle \mathbf {\textit {W}} }$ дорівнює роботі цього поля при переміщенні матеріальної точки вздовж лінії ${\displaystyle \mathbf {\textit {L}} }$ см. розділ Потрійні інтеграли.

1)лінійність ${\displaystyle \int \limits _{L}{(C1{\bar {a}}_{1}+C2{\bar {a}}_{2}){\bar {\tau }}ds}=C1\int \limits _{L}{{\bar {\tau }}{\bar {a}}_{1}}ds+C2\int \limits _{L}{{\bar {\tau }}{\bar {a}}_{2}}ds}$

2)адитивність

${\displaystyle \int \limits _{L_{1}\cup L_{2}}{{\bar {a}}\cdot {\bar {\tau }}\,ds}=\int \limits _{L_{1}}{{\bar {a}}\cdot {\bar {\tau }}\,ds}+\int \limits _{L_{2}}{{\bar {a}}\cdot {\bar {\tau }}\,ds}}$. 

Направлення на кожній з частин ${\displaystyle L_{1}}$ і ${\displaystyle L_{1}}$ має бути таким же, як і на всій кривій ${\displaystyle L_{1}\cup L_{2}}$,

3). При зміні напрямку вздовж ${\displaystyle \mathbf {\textit {L}} }$ лінійний інтеграл змінює знак.

Це випливає з того, що вектор ${\displaystyle {\bar {\tau }}(\mathbf {\textit {M}} )}$ змінюється на ${\displaystyle -{\bar {\tau }}(\mathbf {\textit {M}} )}$.

4). Якщо ${\displaystyle \mathbf {\textit {L}} }$ — векторна лінія поля і рух відбувається в напрямку поля, то ${\displaystyle \mathbf {\textit {W}} >0}$. У цьому випадку вектор ${\displaystyle {\bar {\tau }}(\mathbf {\textit {M}} )}$ колінеарний ${\displaystyle {\bar {a}}(\mathbf {\textit {M}} )}$ , тому ${\displaystyle {\bar {a}}\cdot {\bar {\tau }}=\mathop {{\mbox{пр}}{\bar {a}}} \limits _{\bar {\tau }}=\vert {\bar {a}}\vert >0}$.

Як і будь-який криволінійний інтеграл, лінійний інтеграл обчислюється зведенням до певного інтеграла по параметру на кривій, зазвичай обчислюють криволінійний інтеграл ${\displaystyle W=\int \limits _{L}{Pdx+Qdy+Rdz}}$. Якщо крива при параметричному завданні має вигляд

${\displaystyle L:\left\{{\begin{array}{l}x=x(t),\\y=y(t),\\z=z(t),\\\end{array}}\right.t_{0}\leqslant t\leqslant t_{k}}$ - безперервно диференціюються, то 

${\displaystyle W=\int \limits _{L}{P(x,y,z)\cdot dx+Q(x,y,z)\cdot dt+R(x,y,z)\cdot dz}}$ ${\displaystyle =\int \limits _{t_{0}}^{t_{k}}{\left[{P(x(t),y(t),z(t))\cdot {x}'(t)+Q(x(t),y(t),z(t))\cdot {y}'(t)+R(x(t),y(t),z(t))\cdot {z}'(t)}\right]dt}}$

Напрямок інтегрування визначається напрямом руху по кривій.

Циркуляцією називається лінійний інтеграл векторного поля по замкнутій кривій ${\displaystyle \mathbf {\textit {C}} =\oint \limits _{C}{{\bar {a}}\cdot d{\bar {r}}}}$.

Зазвичай кажуть, що циркуляція характеризує обертальну здатність поля. Мається на увазі наступне. Якщо векторні лінії поля замкнені, то, як ми бачили, циркуляція по ним в напрямку поля позитивна, при цьому в гідродинамічної інтерпретації частки рідини крутяться по цим замкнутим лініях. Нехай тепер лінії струму довільні, уявімо в обсязі ${\displaystyle L}$ замкнутий контур ${\displaystyle C}$. Якщо в результаті руху рідини цей контур буде обертатися, то поле володіє обертальної здатністю, абсолютна величина циркуляції визначатиме кутову швидкість обертання {чим більше |${\displaystyle \mathbf {\textit {C}} }$ |, тим вище швидкість}, знак циркуляції покаже, чи збігається напрямок обертання з напрямком інтегрування.