Матрична тотожність Вудбурі

Розв'язуючи систему матричних рівнянь

${\displaystyle {\begin{bmatrix}A&U\\V&-C^{-1}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}X\\Y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}I\\0\end{bmatrix}}}$

Отримаємо систему з двох рівнянь ${\displaystyle AX+UY=I}$ та ${\displaystyle VX-C^{-1}Y=0}$, вилучимо Y з першого рівняння: ${\displaystyle (A+UCV)X=I}$.

Перетворимо перше рівняння так ${\displaystyle X=A^{-1}(I-UY)}$, і підставимо його в друге рівняння ${\displaystyle VA^{-1}(I-UY)=C^{-1}Y}$.

Отримаємо ${\displaystyle VA^{-1}=(C^{-1}+VA^{-1}U)Y}$, чи ${\displaystyle (C^{-1}+VA^{-1}U)^{-1}VA^{-1}=Y}$.

Підставимо Y в ${\displaystyle AX+UY=I}$, і отримаємо ${\displaystyle AX+U(C^{-1}+VA^{-1}U)^{-1}VA^{-1}=I}$. Отримаємо

${\displaystyle (A+UCV)^{-1}=X=A^{-1}-A^{-1}U\left(C^{-1}+VA^{-1}U\right)^{-1}VA^{-1}.}$

В матриці

${\displaystyle {\begin{bmatrix}A&U\\V&C\end{bmatrix}}}$

для обнулення елемента під A (дано що A невироджена) домножимо зліва на ліву трикутну матрицю,

а для обнулення елемента над C домножимо справа на праву трикутну матрицю.

Отримаємо LDU розклад блочної матриці

${\displaystyle {\begin{bmatrix}I&0\\-VA^{-1}&I\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A&U\\V&C\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I&-A^{-1}U\\0&I\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A&0\\0&C-VA^{-1}U\end{bmatrix}}}$

Проінвертуємо обидві сторони і перенесемо трикутні матриці направо

${\displaystyle {\begin{bmatrix}A&U\\V&C\end{bmatrix}}^{-1}}$	${\displaystyle ={\begin{bmatrix}I&A^{-1}U\\0&I\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}A&0\\0&C-VA^{-1}U\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}I&0\\VA^{-1}&I\end{bmatrix}}^{-1}}$
	${\displaystyle ={\begin{bmatrix}I&-A^{-1}U\\0&I\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A^{-1}&0\\0&(C-VA^{-1}U)^{-1}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I&0\\-VA^{-1}&I\end{bmatrix}}}$
	${\displaystyle ={\begin{bmatrix}A^{-1}+A^{-1}U(C-VA^{-1}U)^{-1}VA^{-1}&-A^{-1}U(C-VA^{-1}U)^{-1}\\-(C-VA^{-1}U)^{-1}VA^{-1}&(C-VA^{-1}U)^{-1}\end{bmatrix}}\qquad \mathrm {(1)} }$

Також можна записати UDL розклад блочної матриці (дано що C невироджена)

${\displaystyle {\begin{bmatrix}I&-UC^{-1}\\0&I\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A&U\\V&C\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I&0\\-C^{-1}V&I\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A-UC^{-1}V&0\\0&C\end{bmatrix}}}$

Знову проінвертуємо обидві сторони і перенесемо трикутні матриці направо

${\displaystyle {\begin{bmatrix}A&U\\V&C\end{bmatrix}}^{-1}}$	${\displaystyle ={\begin{bmatrix}I&0\\C^{-1}V&I\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}A-UC^{-1}V&0\\0&C\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}I&UC^{-1}\\0&I\end{bmatrix}}^{-1}}$
	${\displaystyle ={\begin{bmatrix}I&0\\-C^{-1}V&I\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}(A-UC^{-1}V)^{-1}&0\\0&C^{-1}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I&-UC^{-1}\\0&I\end{bmatrix}}}$
	${\displaystyle ={\begin{bmatrix}(A-UC^{-1}V)^{-1}&-(A-UC^{-1}V)^{-1}UC^{-1}\\-C^{-1}V(A-UC^{-1}V)^{-1}&C^{-1}V(A-UC^{-1}V)^{-1}UC^{-1}+C^{-1}\end{bmatrix}}\qquad \mathrm {(2)} }$

Порівняємо елементи (1,1) матриць (1) та (2) і отримаємо тотожність Вудбері:

${\displaystyle \ (A-UC^{-1}V)^{-1}=A^{-1}+A^{-1}U(C-VA^{-1}U)^{-1}VA^{-1}.}$

Якщо n = k та U = V = I_n, тоді

${\displaystyle \left(\mathbf {A} +\mathbf {C} \right)^{-1}=\mathbf {A} ^{-1}-\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {C} \left(\mathbf {C} +\mathbf {CA} ^{-1}\mathbf {C} \right)^{-1}\mathbf {CA} ^{-1}.}$

Якщо k = 1 та C = I_k, тоді U буде вектором-стовпцем u, та V буде вектором-рядком v^T. Тоді

${\displaystyle \left(\mathbf {A} +\mathbf {uv} ^{\mathrm {T} }\right)^{-1}=\mathbf {A} ^{-1}-{\frac {\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {uv} ^{\mathrm {T} }\mathbf {A} ^{-1}}{1+\mathbf {v} ^{\mathrm {T} }\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {u} }}}$ — має назву формули Шермана — Моррісона.

Якщо A = I_n та C = I_k, тоді

${\displaystyle \left(\mathbf {I} _{n}+\mathbf {UV} \right)^{-1}=\mathbf {I} _{n}-\mathbf {U} \left(\mathbf {I} _{n}+\mathbf {VU} \right)^{-1}\mathbf {V} ,}$

зокрема, справедливо

${\displaystyle \left(\mathbf {I} +\mathbf {uv} ^{\mathrm {T} }\right)^{-1}=\mathbf {I} -{\frac {\mathbf {uv} ^{\mathrm {T} }}{1+\mathbf {v} ^{\mathrm {T} }\mathbf {u} }}.}$