Блочна матриця

Матриця ${\displaystyle \mathbf {P} ={\begin{bmatrix}1&1&2&2\\1&1&2&2\\3&3&4&4\\3&3&4&4\end{bmatrix}}}$ складається з наступних блоків (матриць):${\displaystyle \mathbf {P} _{11}={\begin{bmatrix}1&1\\1&1\end{bmatrix}},\mathbf {P} _{12}={\begin{bmatrix}2&2\\2&2\end{bmatrix}},\mathbf {P} _{21}={\begin{bmatrix}3&3\\3&3\end{bmatrix}},\mathbf {P} _{22}={\begin{bmatrix}4&4\\4&4\end{bmatrix}}.}$

І може бути записана як блочна матриця

${\displaystyle \mathbf {P} _{\mathrm {partitioned} }={\begin{bmatrix}\mathbf {P} _{11}&\mathbf {P} _{12}\\\mathbf {P} _{21}&\mathbf {P} _{22}\end{bmatrix}}.}$

Множення блочних матриць може бути обчислене тільки за допомогою операцій над блоками. Якщо

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}\mathbf {A} _{11}&\mathbf {A} _{12}&\cdots &\mathbf {A} _{1s}\\\mathbf {A} _{21}&\mathbf {A} _{22}&\cdots &\mathbf {A} _{2s}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\mathbf {A} _{q1}&\mathbf {A} _{q2}&\cdots &\mathbf {A} _{qs}\end{bmatrix}}}$ — матриця розміру m×p, поділена на q×s блоків,

${\displaystyle \mathbf {B} ={\begin{bmatrix}\mathbf {B} _{11}&\mathbf {B} _{12}&\cdots &\mathbf {B} _{1r}\\\mathbf {B} _{21}&\mathbf {B} _{22}&\cdots &\mathbf {B} _{2r}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\mathbf {B} _{s1}&\mathbf {B} _{s2}&\cdots &\mathbf {B} _{sr}\end{bmatrix}}}$ — матриця розміру p×n, поділена на s×r блоків,

тоді добуток

${\displaystyle \mathbf {C=AB} }$

буде матрицею розміру m×n, поділеною на q×r блоків. Блоки обчислюватимуться за формулою:

${\displaystyle \mathbf {C} _{\alpha \beta }=\sum _{\gamma =1}^{s}\mathbf {A} _{\alpha \gamma }\mathbf {B} _{\gamma \beta }.}$

Блочна діагональна матриця — блочна матриця що є квадратною матрицею, блоки також є квадратними матрицями і блоки поза основною діагоналлю є нульовими матрицями. Тобто має форму

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}\mathbf {A} _{1}&0&\cdots &0\\0&\mathbf {A} _{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\mathbf {A} _{n}\end{bmatrix}}}$

де A_k — квадратні матриці; іншими словами, пряма сума матриць A₁, …, A_n. Записується A₁ ${\displaystyle \oplus }$ A₂ ${\displaystyle \oplus \,\ldots \,\oplus }$ A_n  чи  diag(A₁, A₂,${\displaystyle \ldots }$, A_n).

Визначник та слід матриці мають властивості:

${\displaystyle \operatorname {det} \mathbf {A} =\operatorname {det} \mathbf {A} _{1}\cdots \operatorname {det} \mathbf {A} _{n}}$,

${\displaystyle \operatorname {trace} \mathbf {A} =\operatorname {trace} \mathbf {A} _{1}+\cdots +\operatorname {trace} \mathbf {A} _{n}}$.

Блочна тридіагональна матриця - це інший вид блочної матриці, який виглядає майже так само як блочна діагональна матриця: квадратна матриця, яка має квадратні матриці (блоки) на головній діагоналі та діагоналях під та над нею, а всі інші блоки - нульові матриці.

Це по-суті тридіагональна матриця, але на місці скалярів в неї підматриці. Така матриця має наступний вигляд:

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}\mathbf {B} _{1}&\mathbf {C} _{1}&&&\cdots &&0\\\mathbf {A} _{2}&\mathbf {B} _{2}&\mathbf {C} _{2}&&&&\\&\ddots &\ddots &\ddots &&&\vdots \\&&\mathbf {A} _{k}&\mathbf {B} _{k}&\mathbf {C} _{k}&&\\\vdots &&&\ddots &\ddots &\ddots &\\&&&&\mathbf {A} _{n-1}&\mathbf {B} _{n-1}&\mathbf {C} _{n-1}\\0&&\cdots &&&\mathbf {A} _{n}&\mathbf {B} _{n}\end{bmatrix}}}$

де A_k, B_k та C_k - квадратні підматриці нижчої головної та вищої діагоналі відповідно.

Блочні тридіагональні матриці часто зустрічаються в числових розв'язках інженерних проблем (наприклад в обчислювальній гідродинаміці). Існують оптимізовані чисельні методи для LU-розкладу, і відповідно ефективні алгоритми розв'язку систем рівнянь з матрицею кофіцієнтів яка є блочною тридіагональною матрицею. Алгоритм Томаса, який використовується для ефективного розв'язку систем рівнянь з тридіагональною матрицею також може застосовуватись при використанні матричних операцій до блочних тридіагональних матриць.

Для довільних матриць A (розміру m×n) та B (розміру p×q), прямою сумою (позначається A ${\displaystyle \oplus }$ B) буде матриця

${\displaystyle \mathbf {A} \oplus \mathbf {B} ={\begin{bmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1n}&0&\cdots &0\\\vdots &\cdots &\vdots &\vdots &\cdots &\vdots \\a_{m1}&\cdots &a_{mn}&0&\cdots &0\\0&\cdots &0&b_{11}&\cdots &b_{1q}\\\vdots &\cdots &\vdots &\vdots &\cdots &\vdots \\0&\cdots &0&b_{p1}&\cdots &b_{pq}\end{bmatrix}}.}$

Наприклад:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3&2\\2&3&1\end{bmatrix}}\oplus {\begin{bmatrix}1&6\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3&2&0&0\\2&3&1&0&0\\0&0&0&1&6\\0&0&0&0&1\end{bmatrix}}.}$

Ця операція узагальнюється на масиви довільної розмірності ( не потрібно щоб A та B мали однакову розмірність).

Прямий добуток — бінарна операція над матрицями довільного розміру, позначається ${\displaystyle \otimes }$. Результатом є блочна матриця.

Прямий добуток не слід путати зі звичайним множенням матриць. Операція названа в честь німецького математика Леопольда Кронекера.

Операція транспонування є дистрибутивною відносно добутку Кронекера

${\displaystyle (A\otimes B)^{T}=A^{T}\otimes B^{T}.}$

• Якщо A, B, C та D є матрицями такого розміру, що існують добутки AC та BD, тоді

${\displaystyle (A\otimes B)(C\otimes D)=AC\otimes BD.}$

• A ${\displaystyle \otimes }$ B є оборотною тоді і тільки тоді коли A та B є оборотними, і тоді

${\displaystyle (A\otimes B)^{-1}=A^{-1}\otimes B^{-1}.}$

• Якщо A — матриця розміру n×n, B — матриця розміру m×m і ${\displaystyle I_{k}}$ — одинична матриця розміру k×k тоді ми можемо визначити суму Кронекера ${\displaystyle \oplus }$, як

${\displaystyle A\oplus B=A\otimes I_{m}+I_{n}\otimes B.}$

• Також справедливо

${\displaystyle e^{A\oplus B}=e^{A}\otimes e^{B}.}$

• Якщо A та B квадратні матриці розміру n та q відповідно. Якщо λ₁, ..., λ_n — власні значення матриці A та μ₁, ..., μ_q власні значення матриці B. Тоді власними значеннями A ${\displaystyle \otimes }$ B є

${\displaystyle \lambda _{i}\mu _{j},\qquad i=1,\ldots ,n,\,j=1,\ldots ,q.}$

• Слід та визначник добутку Кронекера рівні

${\displaystyle \operatorname {tr} (A\otimes B)=\operatorname {tr} (A)\,\operatorname {tr} (B),}$

${\displaystyle \det(A\otimes B)=(\det A)^{q}(\det B)^{n}.}$

• Якщо матриця A має r_A ненульових сингулярних значень:

${\displaystyle \sigma _{A,i},\qquad i=1,\ldots ,r_{A}.}$

Ненульові сингулярні значення матриці B:

${\displaystyle \sigma _{B,i},\qquad i=1,\ldots ,r_{B}.}$

Тоді добуток Кронекера A ${\displaystyle \otimes }$ B має r_Ar_B ненульових сингулярних значень

${\displaystyle \sigma _{A,i}\sigma _{B,j},\qquad i=1,\ldots ,r_{A},\,j=1,\ldots ,r_{B}.}$

• Ранг матриці рівний кількості ненульових сингулярних значень, отже

${\displaystyle \operatorname {rank} (A\otimes B)=\operatorname {rank} (A)\,\operatorname {rank} (B).}$

• Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — 2 изд. — Москва : Наука, 1967. — 576 с. — ISBN 5-9221-0524-8.(рос.)