Невироджена матриця

Також матриці можна обернути блоками через використання такої формули:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {A} &\mathbf {B} \\\mathbf {C} &\mathbf {D} \end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}\mathbf {A} ^{-1}+\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {B} (\mathbf {D} -\mathbf {CA} ^{-1}\mathbf {B} )^{-1}\mathbf {CA} ^{-1}&-\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {B} (\mathbf {D} -\mathbf {CA} ^{-1}\mathbf {B} )^{-1}\\-(\mathbf {D} -\mathbf {CA} ^{-1}\mathbf {B} )^{-1}\mathbf {CA} ^{-1}&(\mathbf {D} -\mathbf {CA} ^{-1}\mathbf {B} )^{-1}\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle (1)\,}$

де A, B, C і D це блоки матриці довільного розміру. (A і D повинні бути квадратними, щоб їх можна було обернути. Більше того, A і D−CA⁻¹B повинна бути невиродженою.[1]) Цей підхід особливо вигідний якщо A є діагональною і D−CA⁻¹B (доповнення Щура щодо A) це маленька матриця, оскільки лише ці дві матриці потребують обернення.

Теорема виродженості говорить про те, що виродженість A дорівнює виродженості підблока в нижньому правому куті оберненої матриці, і що виродженість B дорівнює виродженості підблока в горішньому правому куті оберненої матриці.

Процедура обернення, що призвела до рівняння (1) виконувала блокові матричні операції, які спочатку працювали на C і D . Натомість, якщо почати з A і B, і за умови несингулярності D і A−BD⁻¹C ,[2] результатом є

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {A} &\mathbf {B} \\\mathbf {C} &\mathbf {D} \end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}(\mathbf {A} -\mathbf {BD} ^{-1}\mathbf {C} )^{-1}&-(\mathbf {A} -\mathbf {BD} ^{-1}\mathbf {C} )^{-1}\mathbf {BD} ^{-1}\\-\mathbf {D} ^{-1}\mathbf {C} (\mathbf {A} -\mathbf {BD} ^{-1}\mathbf {C} )^{-1}&\quad \mathbf {D} ^{-1}+\mathbf {D} ^{-1}\mathbf {C} (\mathbf {A} -\mathbf {BD} ^{-1}\mathbf {C} )^{-1}\mathbf {BD} ^{-1}\end{bmatrix}}.}$

${\displaystyle (2)\,}$

Прирівнявши (1) і (2) отримуємо

${\displaystyle (\mathbf {A} -\mathbf {BD} ^{-1}\mathbf {C} )^{-1}=\mathbf {A} ^{-1}+\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {B} (\mathbf {D} -\mathbf {CA} ^{-1}\mathbf {B} )^{-1}\mathbf {CA} ^{-1}\,}$

${\displaystyle (3)\,}$

${\displaystyle (\mathbf {A} -\mathbf {BD} ^{-1}\mathbf {C} )^{-1}\mathbf {BD} ^{-1}=\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {B} (\mathbf {D} -\mathbf {CA} ^{-1}\mathbf {B} )^{-1}\,}$

${\displaystyle \mathbf {D} ^{-1}\mathbf {C} (\mathbf {A} -\mathbf {BD} ^{-1}\mathbf {C} )^{-1}=(\mathbf {D} -\mathbf {CA} ^{-1}\mathbf {B} )^{-1}\mathbf {CA} ^{-1}\,}$

${\displaystyle \mathbf {D} ^{-1}+\mathbf {D} ^{-1}\mathbf {C} (\mathbf {A} -\mathbf {BD} ^{-1}\mathbf {C} )^{-1}\mathbf {BD} ^{-1}=(\mathbf {D} -\mathbf {CA} ^{-1}\mathbf {B} )^{-1}\,}$

де рівняння (3) є лемою обернення матриці.

Оскільки поблокове обернення ${\displaystyle n\times n}$ матриці потребує обернення двох матриць половинного розміру і 6 множень між матрицями половинного розміру, можна показати, що алгоритм розділяй та володарюй, який використовує поблокове обернення для обернення матриці виконується з такою ж часовою складністю, що й алгоритм множення матриць.[3]