Метод ітерації (алгоритм)

Метод або ж алгоритм ітерації  — рекурсивний алґоритм, що реалізує в деякому топологічному просторі ${\displaystyle V}$ послідовність точково-множинних відображень ${\displaystyle A_{k}:V\rightarrow V}$, з допомогою яких, за початковою точкою ${\displaystyle u^{0}\in V}$ вичисляють послідовність точок ${\displaystyle u^{k}\in V}$ згідно формул:

${\displaystyle u^{k+1}=A_{k}u^{k},\qquad k=0,1,...}$

Ця операція називається ітерація, а послідовність ${\displaystyle u^{k}}$ називається ітераційна послідовність. Такі методи (що ще називаються методами послідовних наближень) можуть використовуватись для находження розв'язків операторного рівняння

${\displaystyle Au=f}$,

чи мінімуму деякого функціонала, чи власних значень і елементів рівняння ${\displaystyle Au=\lambda u}$, а також для доведення існування розв'язків цих задач. Ітераційний алгоритм називається збіжним, якщо ${\displaystyle u^{k}\rightarrow u}$ при ${\displaystyle k\rightarrow \infty }$. Оператори ${\displaystyle A_{k}}$ для рівняння наведеного вище (в лінійному метричному просторі ${\displaystyle V}$) будують наступним чином

${\displaystyle A_{k}u^{k}=u_{k}-H_{k}(Au^{k}-f)}$

де ${\displaystyle H_{k}:V\rightarrow V}$ — деяка послідовність операторів, що визначає тип ітераційоного алгоритму.

В основі методу лежить принцип стискуючих відображень і його узагальнення, або варіаційні методи мінімізації деякого пов'язаного із завданням функціонала.