Шарування

Шарування — геометрична конструкція у топології: кажуть, що на многовиді задано шарування розмірності , якщо многовид «нарізано» (узгодженим чином в околі кожної точки) на «шари» розмірності .

Найбільш дослідженими є 1-вимірні шарування, породжені траєкторіями неособливих векторних полів на многовиди, і шарування корозмірності 1.

Поняття шарування природним чином виникає, у тому числі, у теорії динамичних систем: так, для гіперболічних динамічних систем існують стійке та нестійке шарування.

Формальне означення

Кажуть, що на -вимірному многовиді задано -вимірне шарування, якщо многовид покрито картами з відповідними координатними відображеннями

такими, що відображення переклейки мають вигляд

Іншими словами, при переклійці друга («трансверсальна») координата визначається лише другою координатою.

У цьому випадку, розглядається відношення еквівалентності, породжене відношенням , якщо в одній з карт другі координаті точок та збігаються. Клас еквівалентності точки називається тоді прошарком, що проходить через точку .

Також, якщо яка-небудь (зазвичай, скінченна, і завжди корозмірності, не меншої 2) множина точок обраними картами не покривається, кажуть, що задано осбливе шарування (або шарування з особливостями), а ці точки називають особливими точками шарування.

Приклади

то за ним будується надбудова — шарування , динаміка відображень голономії котрого моделює цю дію. А саме, декартовий добуток універсальної накриваючої над та , — многовид — з «горизонтальним» шаруванням на ньому факторизується за «діагональною» дією фундаментальної групи:

Так як ця дія зберігає горизонтальне шарування, це шарування опускається на фактор, визначаючи шукану надбудову.

  • -форма, яка у кожній точці многовиду задовольняє критерію Фробеніуса інтегровності поля площин, задає -вимірне шарування цього многовиду;
  • поліноміальне векторне поле у задає особливе двовимірне шарування.

Дотичне та нормальне розшарування шарування

Дотичні розшарування тотального многовиду шарування мають підрозшаруванням, вектори котрого дотикаються шарів, — це дотичне розшарування розшарування. Відповідне фактор-розшарування називається нормальним шаруванням розшарування.

Розшарування називається орієнтованим, якщо орієнтовано його нормальне розшарування. Відзначимо, що ні тотальний многовид, ні прошарки орієнтованого розшарування не зобов'язані бути хоча б орієнтованими.

Розшарування називається оснащеним, якщо його нормальне розшарування тривіальне та наділене визначеною тривіалізацією.

Властивості

  • Теорема Новікова стверджує, що у довільного двовимірного розшарування тривимірної сфери є компактний прошарок.
  • Аргумент Хефлігера показує, що для довільного некомпактного прошарку розшарування корозмірності 1 на компактному многовиді знайдеться перетинаюча цей прошарок трансверсальна до розшарування околу.

Див. також

Література

  • Тамура И. Топология слоений. — М: Мир, 1979.
  • Фукс Д. Б. Слоения // Итоги науки и техн. Сер. Алгебра. Топол. Геом., 18, ВИНИТИ, М., 1981, 151—213.

Посилання

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.