Мінімальний многочлен (теорія полів)

В теорії полів, мінімальний многочлен — це визначений щодо розширення поля ${\displaystyle E/F}$ і елемента з ${\displaystyle E.}$ Мінімальний многочлен елемента, якщо він існує, це член кільця поліномів ${\displaystyle F[x],}$ від змінної ${\displaystyle x}$ з коефіцієнтами в ${\displaystyle F.}$ Для елемента ${\displaystyle \alpha \in E,}$ нехай ${\displaystyle J_{\alpha }}$ буде множиною всіх многочленів ${\displaystyle f(x)\in F[x]}$ таких, що ${\displaystyle f(\alpha )=0.}$ Елемент ${\displaystyle \alpha }$ називається коренем або нулем кожного многочлена в ${\displaystyle J_{\alpha }.}$ Ми так називаємо множину ${\displaystyle J_{\alpha },}$ бо це ідеал ${\displaystyle F[x].}$ Нульовий многочлен, всі коефіцієнти якого ${\displaystyle 0,}$ є в кожному ${\displaystyle J_{\alpha },}$ бо ${\displaystyle 0\alpha ^{i}=0,\forall \alpha ,i.}$ Це робить нульовий многочлен непридатним для класифікації різних значень ${\displaystyle \alpha }$ за типами, отже його виключаємо. Якщо існує будь-який ненульовий многочлен в ${\displaystyle J_{\alpha },}$ тоді ${\displaystyle \alpha }$ називається алгебраїчним елементом над ${\displaystyle F,}$ і існує нормований, зі старшим коефіцієнтом ${\displaystyle 1,}$ найменшого степеня в ${\displaystyle J_{\alpha }}$ многочлен. Це і є мінімальний многочлен для ${\displaystyle \alpha }$ щодо ${\displaystyle E/F.}$ Він унікальний і незвідний над ${\displaystyle F.}$ Якщо єдиним членом ${\displaystyle J_{\alpha }}$ є нульовий многочлен, тоді ${\displaystyle \alpha }$ називають трансцендентним елементом над ${\displaystyle F}$ і воно не має мінімального многочлена щодо ${\displaystyle E/F.}$

Мінімальний многочлен корисний для побудови й аналізу розширень полів. Коли ${\displaystyle \alpha }$ є алгебраїчним з мінімальним многочленом ${\displaystyle a(x),}$ найменше поле, яке містить і ${\displaystyle F,}$ і ${\displaystyle \alpha }$ ізоморфне до фактор-кільця ${\displaystyle F[x]/\langle a(x)\rangle ,}$ де ${\displaystyle \langle a(x)\rangle }$ є ідеалом ${\displaystyle F[x]}$ утвореним ${\displaystyle a(x).}$ Мінімальні многочлени також використовуються для означення спряжених елементів.