Розширення поля

Розширення поляполе для якого поле є підполем.

Позначається .

Класифікація

Скінченні і нескінченні розширення

Довільне розширення також є векторним простором над . Розмірність цього векторного простору позначається .

  • В іншому випадку розширення називається нескінченним.

Прості і скінченнопороджені розширення

Якщо — деяке розширення поля , а підмножина , що не має спільних елементів з , то позначає найменше поле, що містить і .

  • Просте розширення — розширення, породжене одним елементом . Цей елемент називають первісним елементом.
  • Скінченно породжене розширення — розширення , яке породжене скінченною кількістю елементів: .

Алгебричні і трансцендентні розширення

Елемент з , що є коренем ненульового многочлена з коефіцієнтами з називається алгебричним в розширенні . Елемент , що не є алгебричним називається трансцендентним.

  • Алгебричне розширення — розширення , всі елементи якого є алгебричними над .
  • Розширення, що містить трансцендентні елементи називається трансцендентним розширенням.

Нормальні, сепарабельні розширення

  • Нормальне розширення — алгебричне розширення , для якого кожен незвідний многочлен над , що має хоч би один корінь в , розкладається в на лінійні множники.
  • Сепарабельне розширення — алгебричне розширення, що складається з сепарабельних елементів тобто таких елементів , мінімальний многочлен , над для яких не має кратних коренів.
  • Розширення Галуа — алгебричне розширення, що є нормальним і сепарабельним.

Приклади

  • Іншим прикладом розширення поля раціональних чисел є поле p-адичних чисел.

Література

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.