Міра різноманітності

Перше узагальнення для мір різноманітності запропонував Альфред Реньї[6]. Формула добре відома математикам як формула ентропії Реньї. Якщо альфа-індекс дорівнює 0 ми одержуємо ${\displaystyle \log _{2}N}$ (відома як формула Хартлі); при значенні ${\displaystyle \alpha \rightarrow 1}$ індекс ідентичний індексу Шеннона; при значенні ${\displaystyle \alpha \rightarrow \infty }$ одержуємо ${\displaystyle \log _{2}{1 \over p_{max}}}$, де у знаменнику індекс Бергера-Паркера, який визначається як максимум з усіх розглядуваних долей. Активно обговорювалося питання щодо того, яку основу логарифму найкраще застосовувати. Відомі приклади використання в біології логарифмів з основами 2, 10, e. Від проблеми вибору основи логарифму вільна формула Гілла.

На основі формули ентропії Реньї М. Гіллом був запропонований континуум мір вирівненності (evenness) у вигляді уніфікованої формули, визначеної як антилогарифм від ентропії Реньї[7].

${\displaystyle R_{\alpha }=(\sum _{i=1}^{n}p_{i}^{\alpha })^{1 \over 1-\alpha };\alpha \geqslant 0.}$

Наведемо приклади для деяких випадків: ${\displaystyle R_{0}=N;R_{1}=e^{H};R_{2}={1 \over \sum _{i=1}^{n}p_{i}}}$, де в знаменнику індекс Сімпсона. Пізніше, на основі даної формули була створена низка мір: міра Шелдона (Sheldon), міра Хейпа (Heip), міра Алатало (Alatalo), міра Молінарі (Molinari) та ін. Без прив'язки до параметричних родин використовуються такі міри:

• індекс Глізона: ${\displaystyle {N \over ln(p_{i})}}$;
• індекс Маргалефа: ${\displaystyle {N-1 \over lg(p_{i})}}$;
• індекс Менхиніка: ${\displaystyle {N \over {\sqrt {p}}_{i}}}$;
• індекс вирівненності Пілу (інколи Пієлу, або Пієлоу): ${\displaystyle {\frac {H}{\log N}}={H \over H_{max}}}$. Є по суті нормуванням індексу Шеннона між 0 та 1.

Існують і інші індекси різноманітності, які застосовуються біологами[8], до речі найпростішим показником різноманітності є видове багатство або число видів.

Міри однорідності використовуються значно менше. Тут можна відзначити родину мір концентрації (${\displaystyle Q_{\alpha }}$) О.М. Колмогорова. Його міри коеквівалентні до мір родини Гілла як ${\displaystyle R_{\alpha }={1 \over Q_{\alpha }}}$.

Дана група індексів рідко використовується з причини складності обчислення. Найвідомішим індексом цього типу є індекс Бріллюена[9]. Для біологічних досліджень вперше використаний Рамоном Маргалефом[10]:

${\displaystyle {1 \over N}\log _{2}{N! \over n_{1}!...n_{S}!}}$

Міри різноманітності на основі дескриптивних множин були запропоновані Б.І. Сьомкіним в 1971 році[11], а також Р.Л. Акоффом і Ф.Е. Емері в 1972 році[12]. Наприклад, Б.І. Сьомкін запропонував абсолютну міру різноманітності, що ґрунтувалася на порівнянні досліджуваної вагової множини з еталоном, що має максимальну різноманітність:

${\displaystyle K_{0}(X,X_{max})=m(X\cap X_{max})}$,

де ${\displaystyle X_{max}=\left\{x_{i},\mu (X_{i})={1 \over n},i=1,...,n\right\}}$, X – вагова множина, різноманітність якої визначається; n – число таксонів. Також використовується нормована відносна міра різноманітності:

${\displaystyle R_{S}={n\sum _{i=1}^{n}min(p_{i},{1 \over n})-1 \over n-1}}$

Істинна різноманітність, або ефективна кількість типів, описує кількість однаково чисельних типів потрібних для того аби середня пропорційна чисельність типів дорівнювала спостережуваній в цікавому нам наборі даних (де всі типи можуть не бути однаково чисельними). Істинна різноманітність в наборі даних обчислюється отриманням оберненого до [[середнє степеневе|середнього степеневого M_q−1 пропорційних чисельностей типів в наборі даних. Якщо описати рівнянням:[13][14]

${\displaystyle {}^{q}\!D={1 \over M_{q-1}}={1 \over {\sqrt[{q-1}]{\sum _{i=1}^{R}p_{i}p_{i}^{q-1}}}}=\left({\sum _{i=1}^{R}p_{i}^{q}}\right)^{1/(1-q)}}$

• Біорізноманіття
• Коефіцієнт подібності
• Індекс узагальненого біорізноманіття

• Індекс видового різноманіття // Словник-довідник з екології : навч.-метод. посіб. / уклад. О. Г. Лановенко, О. О. Остапішина. — Херсон : ПП Вишемирський В. С., 2013. — С. 101.