Обернене число

Обернене до ненульового комплексного числа z = a + bi також комплексне. Його можна знайти помноживши чисельник і знаменник 1/z на спряжене до нього ${\displaystyle {\bar {z}}=a-bi}$ і використавши таку властивість ${\displaystyle z{\bar {z}}=\|z\|^{2}}$, модуль z в квадраді, це дійсне число a² + b²:

${\displaystyle {\frac {1}{z}}={\frac {\bar {z}}{z{\bar {z}}}}={\frac {\bar {z}}{\|z\|^{2}}}={\frac {a-bi}{a^{2}+b^{2}}}={\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}i.}$

Логіка така

${\displaystyle {\frac {\bar {z}}{\|z\|}}}$

дає нам спряжене з величиною зменшеною до ${\displaystyle 1}$, отже дальше ділення на ${\displaystyle \|z\|}$ гарантує, що величина тепер рівна оберненій величині початкового числа, тому:

${\displaystyle {\frac {1}{z}}={\frac {\bar {z}}{\|z\|^{2}}}}$

Зокрема, якщо ||z||=1 (z має одиничну величину), then ${\displaystyle 1/z={\bar {z}}}$. Як наслідок, для уявних одиниць, ±i, протилежні рівні оберненим і це єдині комплексні числа з такою властивістю. Наприклад, протилежне і обернене до i це −(i) = −i і 1/i = −i, відповідно.

Для комплексних чисел у полярній формі z = r(cos φ + i sin φ), обернене просто має оберенену величину і від'ємний кут:

${\displaystyle {\frac {1}{z}}={\frac {1}{r}}\left(\cos(-\varphi )+i\sin(-\varphi )\right).}$

Обернені числа мають безліч застосувань у алгоритмах інформатики, особливо тих, що стосуються теорії чисел, бо багато подібних алгоритмів значно покладаються на модульну арифметику. Як простий приклад розглянемо задачу ділення порівну, де ви маєте список непарних чисел таких, що діляться на k кожне розміром у машинне слово. Один з підходів такий:

1. Використати розширений алгоритм Евкліда для обчислення k⁻¹, обернене k mod 2^w, де w є числом бітів у слові. Таке число існуватиме, бо числа непарні, а модуль не має непарних дільників.
2. Для кожного числа в списку, помножити його на k⁻¹ і взяти менше значиме слово результату.

На багатьох, особливо на тих, що не мають підтримки для ділення на рівні заліза, ділення повільніше від множення, отже такий підхід може спричинити значне покращення швидкодії. Перший крок порівняно повільний, але його потрібно виконати лише один раз.

• Обернене за модулем число

• Maximally Periodic Reciprocals, Matthews R.A.J. Bulletin of the Institute of Mathematics and its Applications vol 28 pp 147–148 1992