Нерв покриття

Нехай ${\displaystyle \{W_{\alpha }\}}$ — скінченне покриття топологічного простору${\displaystyle X}$. Нерв покриття ${\displaystyle \{W_{\alpha }\}}$ — це абстрактний симпліціальний комплекс ${\displaystyle N}$, множина вершин якого ототожнена з множиною індексів покриття, при цьому ${\displaystyle N}$ містить симплекс з вершинами${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}}$ тоді і тільки тоді, коли

${\displaystyle \bigcap _{i=1}^{n}W_{\alpha _{i}}\not =\varnothing }$.

• Граф перетинів — 1-вимірний кістяк нерва.

• Теорема про нерв. Якщо ${\displaystyle X}$ тріангульовне і ${\displaystyle \{W_{\alpha }\}}$ — скінченне покриття замкнутими множинами, причому всі непорожні перетини стягувані, то нерв покриття гомотопічно еквівалентний ${\displaystyle X}$.
  • Зокрема, звідси випливає теорема Хеллі .

• Когомології Александрова — Чеха