Когомологія Чеха

q-симплексом σ із ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ називається впорядкована множина q+1 множин із покриття ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$, перетин яких є непустою множиною. Цей перетин називається носієм σ і позначається |σ|.

Для такого симплекса ${\displaystyle \sigma =(U_{i})_{i\in \{0,\ldots ,q\}}}$ j-ю частковою границею за означенням є (q−1)-симплекс одержаний видаленням j-ї множини із σ, тобто:

${\displaystyle \partial _{j}\sigma$ :=(U_{i})_{i\in \{0,\ldots ,q\}\setminus \{j\}}.}

Границею симплекса σ називається знакозмінна сума часткових границь:

${\displaystyle \partial \sigma$ :=\sum _{j=0}^{q}(-1)^{j+1}\partial _{j}\sigma }

що розглядається як елемент вільної абелевої групи породженої симплексами із ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$.

q-коланцюгом ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ з коефіцієнтами у ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ називається відображення, що зіставляє q-симплексу σ елемент ${\displaystyle {\mathcal {F}}(|\sigma |).}$ Множина всіх q-коланцюгів із ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ з коефіцієнтами у ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ позначається ${\displaystyle C^{q}({\mathcal {U}},{\mathcal {F}})}$ і є абелевою групою із поточковим додаванням.

Коланцюги можна перетворити у коланцюговий комплекс ${\displaystyle (C^{\bullet }({\mathcal {U}},{\mathcal {F}}),\delta )}$ за допомогою кограничного оператора ${\displaystyle \delta _{q}:C^{q}({\mathcal {U}},{\mathcal {F}})\to C^{q+1}({\mathcal {U}},{\mathcal {F}})}$ заданого як:

${\displaystyle \quad (\delta _{q}f)(\sigma ):=\sum _{j=0}^{q+1}(-1)^{j}\mathrm {res} _{|\sigma |}^{|\partial _{j}\sigma |}f(\partial _{j}\sigma ),}$

де ${\displaystyle \mathrm {res} _{|\sigma |}^{|\partial _{j}\sigma |}}$ є гомоморфізмом обмеження у передпучку із групи ${\displaystyle {\mathcal {F}}(|\partial _{j}\sigma |)}$ у групу ${\displaystyle {\mathcal {F}}(|\sigma |).}$

Для введеного відображення виконується ${\displaystyle \delta _{q+1}\circ \delta _{q}=0.}$

Кограничний оператор є аналогічним до зовнішньої похідної у когомології де Рама і тому його часто називають диференціалом коланцюгового комплексу.

q-коланцюг називається q-коциклом якщо він належить ядру відображення ${\displaystyle \delta }$ і ${\displaystyle Z^{q}({\mathcal {U}},{\mathcal {F}}):=\ker(\delta _{q})\subseteq C^{q}({\mathcal {U}},{\mathcal {F}})}$ позначає множину всіх q-коциклів.

(q−1)-коланцюг ${\displaystyle f}$ є коциклом якщо для всіх q-симплексів ${\displaystyle \sigma }$ виконується умова

${\displaystyle \sum _{j=0}^{q}(-1)^{j}\mathrm {res} _{|\sigma |}^{|\partial _{j}\sigma |}f(\partial _{j}\sigma )=0}$

0-коцикл ${\displaystyle f}$ є множиною локальних перетинів у ${\displaystyle {\mathcal {F}},}$ що узгоджуються на всіх перетинах множин ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {U}}}$

${\displaystyle f(A)|_{A\cap B}=f(B)|_{A\cap B}}$

1-коцикл ${\displaystyle f}$ для кожної непустої множини ${\displaystyle U=A\cap B\cap C}$ де ${\displaystyle A,B,C\in {\mathcal {U}}}$ задовольняє умову

${\displaystyle f(B\cap C)|_{U}-f(A\cap C)|_{U}+f(A\cap B)|_{U}=0}$

q-коланцюг називається q-кограницею якщо він належить образу ${\displaystyle \delta .}$ Множина всіх кограниць позначається ${\displaystyle B^{q}({\mathcal {U}},{\mathcal {F}}):=\mathrm {Im} (\delta _{q-1})\subseteq C^{q}({\mathcal {U}},{\mathcal {F}}).}$

1-коланцюг ${\displaystyle f}$ є 1-кограницею якщо існує 0-коланцюг ${\displaystyle h}$ для якого для всіх множин ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {U}}}$ із непустим перетином

${\displaystyle f(A\cap B)=h(A)|_{A\cap B}-h(B)|_{A\cap B}}$

Когомологія Чеха покриття ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ із значеннями у ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ є когомологією коланцюгового комплексу ${\displaystyle (C^{\bullet }({\mathcal {U}},{\mathcal {F}}),\delta )}$. Зокрема q-та когомологія Чеха є рівною

${\displaystyle {\check {H}}^{q}({\mathcal {U}},{\mathcal {F}}):=H^{q}((C^{\bullet }({\mathcal {U}},{\mathcal {F}}),\delta ))=Z^{q}({\mathcal {U}},{\mathcal {F}})/B^{q}({\mathcal {U}},{\mathcal {F}})}$.

Означення когомології Чеха простору X дається із використанням поняття подрібнення покриття. Нехай ${\displaystyle {\mathcal {U}}=(U_{i})_{i\in I}}$ і ${\displaystyle {\mathcal {V}}=(V_{j})_{j\in J}}$ є двома відкритими покриттями простору X із множинами індексів I і J. Покриття ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$ називається подрібненням покриття ${\displaystyle {\mathcal {U}},}$ якщо існує таке відображення ${\displaystyle r:J\to I}$ таке, що для всіх ${\displaystyle j\in J}$ виконується ${\displaystyle V_{j}\subseteq U_{r(j)}.}$ Два покриття ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ і ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$ називаються еквівалентними, якщо кожне є подрібненням іншого.

Кожне відображення подрібнення r задає відображення ${\displaystyle {\check {C}}^{*}({\mathcal {U}},{\mathcal {F}})\to {\check {C}}^{*}({\mathcal {V}},{\mathcal {F}})}$ індуковане відображеннями обмеження ${\displaystyle \mathrm {res} _{V_{j}}^{U_{r(j)}}f(U_{r(j)}).}$

Дане відображення загалом залежить від r, проте індуковане відображення когомологій ${\displaystyle {\check {H}}^{*}({\mathcal {U}},{\mathcal {F}})\to {\check {H}}^{*}({\mathcal {V}},{\mathcal {F}})}$ є однозначно визначеним для всіх подрібнень.

Відкриті покриття простору X загалом відкриті покриття простору утворюють клас, а не множину. Проте кожне покриття є еквівалентним покриттю в якому кожна множина зустрічається лише 1 раз і таке покриття є проіндексованим підмножиною булеану 2^X. Розглядаючи лише такі відкриті покриття одержується направлена множина щодо подрібнень, і разом із введеними вище відображеннями когомологій утворюється направлена система абелевих груп.

Когомологією Чеха простору X зі значеннями у ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ називається індуктивна границя по цій направленій системі:

${\displaystyle {\check {H}}^{*}(X,{\mathcal {F}}):=\varinjlim _{\mathcal {U}}{\check {H}}^{*}({\mathcal {U}},{\mathcal {F}})}$.

Когомологією Чеха простору X із коефіцієнтами в абелевій групі A (позначається ${\displaystyle {\check {H}}(X;A)}$) є за означенням ${\displaystyle {\check {H}}(X,{\mathcal {F}}_{A})}$ де ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{A}}$ є сталий пучок на X заданий A.