Нерівність Берроу

Нехай P — довільна точка всередині трикутника ABC. U, V та W точки, де бісектриси кутів BPC, CPA та APB перетинають сторони BC, CA, AB відповідно. Тоді нерівність Берроу стверджує, що[1]

${\displaystyle PA+PB+PC\geq 2(PU+PV+PW),\,}$

причому нерівність перетворюється на рівність лише у випадку рівностороннього трикутника, в якому Р — центр трикутника.[1]

Нерівність Берроу можна поширити на опуклі многокутники. Якщо точка ${\displaystyle P}$ є внутрішньою для опуклого многокутника з вершинами ${\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots ,A_{n}}$ і ${\displaystyle Q_{1},Q_{2},\ldots ,Q_{n}}$ перетини бісектрис кутів ${\displaystyle \angle A_{1}PA_{2},\ldots ,\angle A_{n-1}PA_{n},\angle A_{n}PA_{1}}$ з відповідними сторонами многокутника ${\displaystyle A_{1}A_{2},\ldots ,A_{n-1}A_{n},A_{n}A_{1}}$, то виконується така нерівність:[2][3]

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}|PA_{k}|\geq \sec \left({\frac {\pi }{n}}\right)\sum _{k=1}^{n}|PQ_{k}|}$

Тут ${\displaystyle \sec(x)}$ позначає функцію секанс. У випадку трикутника ${\displaystyle n=3}$ і нерівність стає нерівністю Берроу, оскільки ${\displaystyle \sec \left({\tfrac {\pi }{3}}\right)=2}$.

Посилення Берроу нерівності Ердеша — Морделла: ${\displaystyle {\begin{aligned}&\quad \,|PA|+|PB|+|PC|\\&\geq 2(|PQ_{a}|+|PQ_{b}|+|PQ_{c}|)\\&\geq 2(|PF_{a}|+|PF_{b}|+|PF_{c}|)\end{aligned}}}$

Нерівність Берроу посилює нерівність Ердеша — Морделла, яка має таку ж форму, за винятком PU, PV та PW, замінених трьома відстанями P від сторін трикутника. Її названо на честь Девіда Френсіса Берроу. Доведення цієї нерівності Берроу опублікував 1937 року як розв'язок задачі про доведення нерівності Ердеша — Морделла, опублікованої в Американському математичному щомісячнику.[1] Цей результат названо «нерівністю Берроу» ще в 1961 року.[4]

Простіше доведення відшукав Луїс Дж. Морделл.[5]

• Теорема Ейлера в геометрії
• Список нерівностей трикутників

• Hojoo Lee: Topics in Inequalities — Theorems and Techniques