Нерівність Берроу
Нерівність Берроу — це нерівність, яка пов'язує відстані між довільною точкою всередині трикутника, вершинами трикутника та певними точками на сторонах трикутника. Вона названа на честь Девіда Френсіса Берроу.
![](../I/Barrow_inequality.svg.png.webp)
Твердження
Нехай P — довільна точка всередині трикутника ABC. U, V та W точки, де бісектриси кутів BPC, CPA та APB перетинають сторони BC, CA, AB відповідно. Тоді нерівність Берроу стверджує, що[1]
причому нерівність перетворюється на рівність лише у випадку рівностороннього трикутника, в якому Р — центр трикутника.[1]
Узагальнення
Нерівність Берроу можна поширити на опуклі многокутники. Якщо точка є внутрішньою для опуклого многокутника з вершинами і перетини бісектрис кутів з відповідними сторонами многокутника , то виконується така нерівність:[2][3]
Тут позначає функцію секанс. У випадку трикутника і нерівність стає нерівністю Берроу, оскільки .
Історія
![](../I/Ungleichung_barrow2.svg.png.webp)
Нерівність Берроу посилює нерівність Ердеша — Морделла, яка має таку ж форму, за винятком PU, PV та PW, замінених трьома відстанями P від сторін трикутника. Її названо на честь Девіда Френсіса Берроу. Доведення цієї нерівності Берроу опублікував 1937 року як розв'язок задачі про доведення нерівності Ердеша — Морделла, опублікованої в Американському математичному щомісячнику.[1] Цей результат названо «нерівністю Берроу» ще в 1961 року.[4]
Простіше доведення відшукав Луїс Дж. Морделл.[5]
Див. також
- Теорема Ейлера в геометрії
- Список нерівностей трикутників
Примітки
- Erdős, Paul; Mordell, L. J.; Barrow, David F. (1937). Solution to problem 3740. The American Mathematical Monthly 44 (4): 252–254. JSTOR 2300713. doi:10.2307/2300713..
- M. Dinca: «A Simple Proof of the Erdös-Mordell Inequality». In: Articole si Note Matematice, 2009
- Hans-Christof Lenhard: «Verallgemeinerung und Verschärfung der Erdös-Mordellschen Ungleichung für Polygone». In: Archiv für Mathematische Logik und Grundlagenforschung, Band 12, S. 311—314, doi:10.1007/BF01650566 (German).
- Oppenheim, A. (1961). New inequalities for a triangle and an internal point. Annali di Matematica Pura ed Applicata 53: 157–163. MR 124774. doi:10.1007/BF02417793.
- Mordell, L. J. (1962). On geometric problems of Erdös and Oppenheim. The Mathematical Gazette 46 (357): 213–215. JSTOR 3614019..