Бісекція

Внутрішні бісектриси кута трикутника одночасно перетинаються в точці, яка називається стимулом (центром вписаного кола) трикутника, як видно на схемі праворуч.

Бісектриси двох зовнішніх кутів та бісектриса третьоговнутрішнього кута перетинаються в одній точці.[3] ^:p.149

Три точки перетину зовнішніх бісектрис кута з продовженнями протилежних їм сторін є колінеарними (лежать на одній прямій).[3] ^{:p. 149}

Три точки перетину зовнішніх бісектрис кута з продовженнями протилежних їм сторін є колінеарними (лежать на одній прямій).[3] ^{:p. 149}

На цьому рисунку BD: DC = AB: AC.

Теорема про бісектрису кута показує співвідношення довжин двох відрізків, на які сторона трикутника поділена прямою, що ділить навпіл протилежний кут. Теорема стверджує, що відношення цих відрізків дорівнює відношенню прилеглих до кута сторін.

Якщо довжини сторін трикутника рівні ${\displaystyle a,b,c}$, півпериметр ${\displaystyle s=(a+b+c)/2,}$ а A — кут, протилежний стороні ${\displaystyle a}$, тоді довжина внутрішньої бісектриси кута A дорівнює[3] ^{:p. 70}

${\displaystyle {\frac {2{\sqrt {bcs(s-a)}}}{b+c}},}$

або в тригонометричному вираженні,[4]

${\displaystyle {\frac {2bc}{b+c}}\cos {\frac {A}{2}}.}$

Якщо внутрішня бісектриса кута A у трикутнику ABC має довжину ${\displaystyle t_{a}}$ і якщо ця бісектриса ділить сторону, протилежну А, на відрізки довжини m і n, то[3] ^:p.70

${\displaystyle t_{a}^{2}+mn=bc}$,

де b і c — довжини сторін, протилежних вершинам B і C; а сторона, протилежна А, ділиться у пропорції b : c .

Якщо внутрішні бісектриси кутів A, B і C мають довжини ${\displaystyle t_{a},t_{b},}$ і ${\displaystyle t_{c}}$, тоді[5]

${\displaystyle {\frac {(b+c)^{2}}{bc}}t_{a}^{2}+{\frac {(c+a)^{2}}{ca}}t_{b}^{2}+{\frac {(a+b)^{2}}{ab}}t_{c}^{2}=(a+b+c)^{2}.}$Немає двох неконгруентних трикутників, що мають однаковий набір трьох довжин бісектрис внутрішніх кутів.[6][7]

Існують цілочисельні трикутники з раціональною довжиною бісектриси кута.

Бісектриси внутрішніх кутів опуклого чотирикутника або утворюють вписаний чотирикутник (тобто чотири точки перетину сусідніх бісектрис кутів є конциклічними),[8] або паралельні. В останньому випадку чотирикутник є описаним чотирикутником.

Кожна діагональ ромба ділить навпіл протилежні кути, тобто є їх бісектрисою.

Дотична до параболи в заданій точці ділить навпіл кут між прямою, яка походить через задану точку та фокус параболи, і прямою, яка проходить через задану точку перпендикулярно до директриси параболи.

Кожна з трьох медіан трикутника є відрізком прямої, що проходить через одну вершину та середину протилежної сторони, тому вона ділить цю сторону навпіл (в загальному випадку не перпендикулярно). Три медіани перетинають одна одну в центроїді трикутника, який називають також його центром маси; таким чином, будь-яка пряма, що проходить через центроїд трикутника та одна з його вершин, ділить навпіл протилежну сторону. Центроїд знаходиться вдвічі ближче до середини будь-якої сторони, ніж до протилежної вершини.

Внутрішньою перпендикулярною до сторони трикутника бісектрисою є відрізок, який повністю міститься у внутрішній області трикутника, і перпендикулярно ділить одну з сторін трикутника навпіл. Три такі бісектриси сторін трикутника перетинаються в центрі описаного кола (центр кола, що проходить через три вершини трикутника). Таким чином, будь-яка пряма, яка проходить через центр описаного кола трикутника і перпендикулярна стороні, ділить цю сторону навпіл.

У гострокутному трикутнику центр вписаного кола ділить внутрішні перпендикулярні бісектриси двох найкоротших сторін у рівних відношеннях. У тупокутному трикутнику перпендикулярні бісектриси двох коротших сторін (продовжені за межі трикутника до центру описаного кола) розділені третьою стороною трикутника у рівних відношеннях.[9] ^{:Corollaries 5 and 6}

Для будь-якого трикутника довжини внутрішніх перпендикулярних бісектрис задані формулами

${\displaystyle p_{a}={\tfrac {2aT}{a^{2}+b^{2}-c^{2}}},}$${\displaystyle p_{b}={\tfrac {2bT}{a^{2}+b^{2}-c^{2}}},}$ і ${\displaystyle p_{c}={\tfrac {2cT}{a^{2}-b^{2}+c^{2}}},}$ де сторони трикутника ${\displaystyle a\geq b\geq c}$ , а площа трикутника дорівнює ${\displaystyle T.}$ [10] :Thm 2

Дві бімедіани опуклого чотирикутника — це відрізки, які з'єднують середини протилежних сторін, отже, кожна ділить дві сторони навпіл. Дві бімедіани і відрізок, що з'єднує середини діагоналей, перетинаються в точці, яка називається «центроїд вершини», і всі вони діляться навпіл на цій точці.[11] ^:p.125

Чотири відрізки опуклого чотирикутника, що є перпендикулярними до сторони чотирикутника і проходять через середину протилежної сторони, ділять сторону навпіл. Якщо чотирикутник вписаний у коло, ці відрізки лежать на конкурентних прямих і перетинаються у одній точці, яка називається «антицентром».

Теорема Брахмагупти стверджує, що якщо вписаний чотирикутник ортодіагональний (тобто має перпендикулярні діагоналі), то перпендикуляр до сторони від точки перетину діагоналей завжди ділить протилежну сторону навпіл.

Існує безліч прямих, які ділять площу трикутника навпіл. Три з них є медіанами трикутника (які з'єднують середини сторін з протилежними вершинами), і вони є перетинаються в центроїді трикутника; справді, це єдині бісектриси області, які проходить крізь центроїд. Три інші бісектриси площі паралельні сторонам трикутника; кожна з них перетинає дві інші сторони, ділячи їх у відношенні ${\displaystyle {\sqrt {2}}+1:1}$ .[12]

Обгортка з нескінченності кількості бісектрис є дельтоїдою (в широкому сенсі, фігурою з трьома вершинами, з'єднаними кривими, які є увігнутими до зовнішньої частини).[12] Вершини дельтоїди розташовані на серединах медіан; всі точки всередині дельтоїди знаходяться на трьох різних бісектрисах площі, тоді як всі точки поза нею знаходяться лише на одній. Сторони дельтоїди — це дуги гіпербол, які є асимптотичними до продовжень сторін трикутника. Відношення площі обгортки бісектрис площі до площі трикутника є інваріантним для всіх трикутників і дорівнює ${\displaystyle {\tfrac {3}{4}}\log _{e}(2)-{\tfrac {1}{2}},}$ тобто 0,019860 … або менше 2 %.

Колун^{[уточнити]} трикутника — це відрізок, який ділить навпіл периметр трикутника і має один кінець в середині однієї з трьох сторін. Три колуни перетинаються в центрі Шпікера, який є центром вписаного кола в медіальний трикутник. Колун паралельний бісектрисі кута.

Розділювач трикутника — це відрізок прямої, що має один кінець в одній з трьох вершин трикутника і ділить периметр навпіл. Три розділювачі перетинаються в точці Наґеля трикутника.

Є прямі, які ділить площу трикутника та його периметр навпіл, і проходять через стимул трикутника (центр вписаного кола). Для будь-якого даного трикутника їх існує одна, дві або три. Пряма, що проходить через стимул, ділить навпіл площу (або периметр) тоді і лише тоді, коли вона також ділить навпіл периметр (або площу).[13]

Будь-яка пряма через точку перетину діагоналей паралелограма ділить навпіл площу[14] та периметр паралелограма.

Всі бісектриси площі та бісектриси периметра кола чи іншого еліпса проходять через центр кола (еліпса), а будь-які хорди через центр ділять площу та периметр навпіл. У випадку кола вони є діаметрами кола.

Діагоналі паралелограма ділять навпіл одна одну.

Якщо відрізок, що з'єднує діагоналі чотирикутника, ділить навпіл обидві діагоналі, то цей відрізок прямої (пряма Ньютона) ділиться навпіл центроїдом вершини.