Універсальна множина

Універсальна множина (універсум) — в теорії множин така множина U, для якої перетин цієї множини з будь-якою множиною X збігається з цією множиною X. Універсальна множина єдина.

Формально: U — універсальна множина ⇔ ∀X: X∩U=X.

Таким чином, будь-яка множина X повністю міститься в універсальній множині U. Виходячи з цього можна дати таке визначення універсальної множини: якщо в рамках деякої задачі розглядаються тільки підмножини деякої фіксованої множини U, то сама ця множина U називається універсальною множиною.

Не слід плутати поняття універсальної множини з поняттям множини всіх множин в наївній теорії множин (див. Парадокс Рассела). Існування такої множини всіх множин забороняється аксіоматичною теорією множин.

В алгебрі множин універсальна множина грає ролю одиничного елементу.

Також для будь-якої множини X справедливо: X∪U=U.

Властивості універсальної множини

Будь-який об'єкт, якою б не була його природа є елементом універсальної множини.
$\forall a\colon a\in U$
Зокрема, універсальна множина містить як один з елементів сама себе.
$U\in U$
Будь-яка множина є підмножиною універсальної множини.
$\forall A\colon A\subseteq U$
Зокрема, універсальна множина є власною підмножиною.
$U\subseteq U$
Об'єднання універсальної множини з будь-якою іншою множиною дорівнює універсальній множині.
$\forall A\colon U\cup A=U$
Зокрема, об'єднання універсальної множини із собою дорівнює універсальній множині.
$U\cup U=U$
Перетин універсальної множини з іншою множиною дорівнює множині, що перетинається з універсальною.
$\forall A\colon U\cap A=A$
Зокрема, перетин універсальної множини із собою дорівнює універсальній множині.
$U\cap U=U$
Виключення універсальної множини з будь-якої іншої множини дорівнює порожній множині.
$\forall A\colon A\setminus U=\varnothing$
Зокрема, виключення універсальної множини із самої себе дорівнює порожній множині.
$U\setminus U=\varnothing$
Виключення будь-якої множини з універсальної множини дорівнює доповненню цієї множини.
$\forall A\colon U\setminus A={\overline {A}}$
Доповненням універсальної множини є порожня множина.
${\overline {U}}=\varnothing$
Симетрична різниця універсальної множини з будь-якою множиною дорівнює доповненню останної множини.
$\forall A\colon U\triangle A={\overline {A}}$
Зокрема, симетрична різниця універсальної множини із собою дорівнює порожній множині.
$U\triangle U=\varnothing$

Див. також

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.