Оператор відставання

Можна також використовувати поліноми з оператором відставання, це звичне позначення для АРКС (авторегресія ковзного середнього) моделей. Наприклад,

${\displaystyle \varepsilon _{t}=X_{t}-\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}X_{t-i}=\left(1-\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}L^{i}\right)X_{t}\,}$

визначає АР(р) модель.

Поліном операторів відставання називається поліномом відставання, тож, наприклад, АРКС модель можна коротко подати як

${\displaystyle \varphi (L)X_{t}=\theta (L)\varepsilon _{t}\,}$

де ${\displaystyle \varphi (L)}$ і ${\displaystyle \theta (L)}$

${\displaystyle \varphi (L)=1-\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}L^{i}\,}$

і

${\displaystyle \theta (L)=1+\sum _{i=1}^{q}\theta _{i}L^{i}.\,}$

Многочлени операторів відставання мають подібні  до чисел і поліномів змінних правила множення і ділення. Наприклад,

${\displaystyle X_{t}={\frac {\theta (L)}{\varphi (L)}}\varepsilon _{t},}$

означає те ж саме, що

${\displaystyle \varphi (L)X_{t}=\theta (L)\varepsilon _{t}\,.}$

Як і у випадку многочленів від змінних, поліном оператора відставання можна розділити на інший, використовуючи поліноміальне ділення в стовпчик. Загалом, ділення одного такого многочлена на інший, коли обидва мають скінченний порядок (найвищий показник), дає  поліном нескінченного порядку.

У оператор аннігіляції (аннігілятор), позначається ${\displaystyle }$видаляє записи полінома з негативним показником (майбутні значення).

Зверніть увагу, що ${\displaystyle }$ позначає суму коефіцієнтів:

${\displaystyle \varphi \left(1\right)=1-\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}}$

В аналізі часових рядів, оператор першої різниці:${\displaystyle }$

${\displaystyle {\begin{array}{lcr}\nabla X_{t}&=X_{t}-X_{t-1}\\\nabla X_{t}&=(1-L)X_{t}~.\end{array}}}$

Аналогічно, оператор другої різниці працює наступним чином:

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla (\nabla X_{t})&=\nabla X_{t}-\nabla X_{t-1}\\\nabla ^{2}X_{t}&=(1-L)\nabla X_{t}\\\nabla ^{2}X_{t}&=(1-L)(1-L)X_{t}\\\nabla ^{2}X_{t}&=(1-L)^{2}X_{t}~.\end{aligned}}}$

Цей підхід узагальнено на i-го різницевого оператора ${\displaystyle }$

Зазвичай в стохастичних процесах важливим є очікуване значення змінної, враховуючи попередній набір інформації. Нехай ${\displaystyle }$ вся інформація загальновідома на момент часу t (xfcnj це позначають нижнім індексом оператора математичного очікування); тоді математичне очікування реалізації X, j кроків в майбутньому, можна еквівалентно замінити наступним:

${\displaystyle E[X_{t+j}|\Omega _{t}]=E_{t}[X_{t+j}]\,.}$

З таким залежним від часу умовним маточікуванням, з'являється необхідність розрізняти оператор зворотного зсуву (B), що тільки коригує дату прогнозування змінної і оператора відставання (L), який однаково змінює дату прогнозування змінної та множину відомостей (інформацію):

${\displaystyle L^{n}E_{t}[X_{t+j}]=E_{t-n}[X_{t+j-n}]\,,}$

${\displaystyle B^{n}E_{t}[X_{t+j}]=E_{t}[X_{t+j-n}]\,.}$

• Модель авторегресії
• Авторегресії ковзного середнього модель
• Змінна середня модель
• Оператор зсуву
• Z-перетворення

• Hamilton, James Douglas (1994). Time Series Analysis. Princeton University Press. ISBN 0-691-04289-6.(англ.)
• Verbeek, Marno (2008). A Guide to Modern Econometrics. John Wiley and Sons. ISBN 0-470-51769-7. (англ.)