Степенева функція

Степене́ва функція — функція вигляду $f(x)=x^{a}\!\$ , де a — показник степеню, дійсне число.

Властивості

Область визначення: $(0,\infty )$ при $a<0$ , $[0,\infty )$ при $a>0$ .

При натуральних показниках степеня $a$ область визначення розширюється на всю числову вісь: $(-\infty ,\infty )$ .

Область значень: $(0,\infty )$ при $a<0$ , $[0,\infty )$ при $a>0$ .

Монотонно спадає при $a<0$ , монотонно зростає при $a>0$ . При а > 0 функція має єдиний нуль в точці x= 0. Точок перетину не має.

При $a<0$ має особливу точку при $x=0$ .

Похідна

\left(x^{a}\right)^{\prime }=ax^{a-1}

Невизначений інтеграл

\int x^{a}dx={\frac {x^{a+1}}{a+1}}+C

Аналітичне продовження

Степенева функція комплесного агрумента

f(z)=z^{a}\,

аналітична (голоморфна) всюди, окрім точки z = 0 при нецілих значеннях показника $a$ .

При раціональному показнику $a=p/q$ , де $p$ та $q$ — цілі числа, функція визначається на рімановій поверхні із q листів, розріз проводиться вздовж півосі $x={\text{Re }}\ z>0$ .

Таким чином, якщо скористатися представленням комплексного числа в експоненційній формі,

z=re^{i\varphi }\,

,

то $\varphi$ змінюється від 0 до $2\pi q$ .

f(z)=z^{a}=r^{a}e^{ip\varphi /q}\,

.

Для дійсного a — кількість ріманових листів безмежна.

Див. також

Аналітичне продовження

Посилання

Основні елементарні функції // Вища математика в прикладах і задачах / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — К. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 177. — 594 с.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.