Ортогональне доповнення

Ортогональне доповнення підпростору — в лінійній алгебрі та функціональному аналізі, множина векторів простору (в якому визначений скалярний добуток, тобто, це є передгільбертів простір) які є ортогональними до всіх векторів заданого підпростору:

W^{\bot }=\left\{x\in V:\langle x,y\rangle =0,\quad \forall y\in W\right\}.

Властивості

Ортогональне доповнення є замкнутою множиною.

В скінченномірному випадку всі лінійні підпростори є замкнутими, тобто ${\overline {W}}=W,$ тому:

W^{\bot \,\bot }=W.

В нескінченномірному гільбертовому просторі підпростори можуть бути незамкненими, але їх ортогональні доповнення є замкненими:

W^{\bot \,\bot }={\overline {W}}.

В скінченномірному випадку сума розмірностей лінійного підпростору і його ортогонального доповнення рівна розмірності простору:

\dim W+\dim W^{\bot }=\dim V.

Дивись також

Ядро та образ лінійного оператора

Джерела

Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — 2 изд. — Москва : Наука, 1967. — 576 с. — ISBN 5-9221-0524-8.(рос.)
Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. — 5-е. — Москва : Наука, 1998. — 320 с. — ISBN 5791300158.(рос.)

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.