Ядро та образ лінійного оператора

В лінійній алгебрі і функціональному аналізі для лінійного оператора $\ L:V\to W$

Ядром лінійного оператора називається наступна підмножина $\ V$ :

\ker {(L)}=\{v\in V:\;L(v)=0\}

вона утворює лінійний підпростір в просторі

\ V.

Образом лінійного відображення називається наступна підмножина $\ W$ :

\operatorname {im} (L)=\{w\in W:\;w=L(v),v\in V\}

вона утворює лінійний підпростір в просторі

\ W.

Ядро оператора ще називають нуль-простором оператора і позначають: $\operatorname {null} (L).$

Властивості

Два елементи з V мають однаковий образ в W тоді і тільки тоді коли їх різниця належить ядру L:

L(v)=L(w)\quad \iff \quad (v-w)\in \ker {(L)}.

Тобто образ L є ізоморфним до фактор-простору в V утвореного ядром:

{\text{im}}(L)\cong V/\ker(L){\text{.}}

(див. Першу теорему про ізоморфізми для лінійних просторів).

Якщо в V визначений скалярний добуток, тоді V / ker(L) може бути представленим як ортогональне доповнення до ker(L) в V.

Простори скінченної розмірності і матриці

Коли V та W є просторами скінченної розмірності n та m відповідно, тоді в них можна вибрати базиси і задати лінійний оператор L множенням на матрицю A розміру m-на-n: $v\mapsto \mathbf {A} v.$

Визначення ядра матриці записується як $\ker {(\mathbf {A} )}=\{x\in V:\;\mathbf {A} x=0\}$ , тобто еквівалентно множині розв'язків однорідної СЛАР.

Rank-nullity теорема

Між розмірностями образу і ядра існує наступне співвідношення (rank-nullity theorem):

\dim(\ker {L})+\dim(\operatorname {im} {\,L})=\dim(V)

Число $\dim(\operatorname {im} {\,L})$ називається рангом $\ L$ і записується як $\operatorname {rank} {(L)}$ чи $\operatorname {rk} {(L)}.$

Ранг відображення збігається з рангом матриці відображення.

Основна теорема лінійної алгебри

Матриця A ( rank A = r) вводить чотири фундаментальні підпростори:

Назва	Визначення	Простір в якому існує	Розмірність
простір стовпців чи образ	im(A) чи range(A)	$\mathbb {R} ^{m}$	r
нульпростір чи ядро	ker(A) чи null(A)	$\mathbb {R} ^{n}$	n — r
простір рядків чи кообраз(англ.)	im(A^T) чи range(A^T)	$\mathbb {R} ^{n}$	r
лівий нульпростір чи коядро(англ.)	ker(A^T) чи null(A^T)	$\mathbb {R} ^{m}$	m — r

В $\mathbb {R} ^{n}\;\;\ker {(A)}=(\mathrm {im} (A^{T}))^{\perp }$ , тобто, нульпростір є ортогональним доповненням простору рядків.
В $\mathbb {R} ^{m}\;\;\ker {(A^{T})}=(\mathrm {im} (A))^{\perp }$ , тобто, лівий нульпростір є ортогональним доповненням простору стовпців.

Див. також

Проєкційна матриця

Джерела

Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — 2 изд. — Москва : Наука, 1967. — 576 с. — ISBN 5-9221-0524-8.(рос.)

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.