Ортогональність

Ортогональність (від грец. ὀρθός — прямий і грец. γωνία — кут) — термін, яким позначають перпендикулярність векторів.

Лінійні відрізки AB і CD є ортогональними один до одного.

Визначення

Нехай  прегільбертів простір. Елементи , називаються ортогональними, якщо їх скалярний добуток дорівнює 0, тобто ; що позначається .[1]

Множина векторів називається ортогональною, якщо довільна пара з цієї множини ортогональна. Якщо всі вектори цієї множини одиничні, то вона називається множиною ортнормованих векторів. Не-нульові ортогональні вектори лінійно незалежні.[2]

Якщо для системи векторів простору визначник Грамма дорівнює 0, то ці вектори лінійно залежні.

В Евклідовому просторі

В 2- або 3- вимірному Евклідовому просторі два вектори ортогональні, якщо скалярний добуток цих векторів дорівнює нулю, тобто кут між ними 90° або π/2 радіан. Таким чином, ортогональність векторів є узагальненням перпендикулярності.

В Евклідових підпросторах ортогональним доповненням прямої є площина, і навпаки.

Ортогональні функції

Дві дійсні функції та є ортогональними одна щодо одної у інтервалі якщо

Аналогією до поняття ортогональності є векторна теорія, де (у трьохвимірному випадку) для вектори є ортогональними, коли

У -вимірному просторі вектори ортогональні, якщо У -вимірному просторі, у якому мають неперервний розподіл, є неперервною змінною таким чином переходить у Поняття функції переводиться таким чином у поняття вектора у -вимірному просторі. Інтеграл

визначає скалярний добуток у функціональному просторі. У такому просторі скалярний (внутрішній) добуток визначається так само, як й у скінченних векторних просторах, відповідно, таким самим чином можна визначити ортогональність.

Якщо дана похідна, неперервна на відрізку , функції і необхідно розкласти її по набору лінійно незалежних функцій для якої існує то можна усереднено апроксимувати її лінійною сукупністю Коефіцієнти підібрати важко, якщо набір є ортонормованим. У процесі ортогоналізації функції замінюється таким самим числом числом нових функцій які є лінійними комбінаціями попередніх функцій, тобто

Такий алгоритм має назву процесу Грама-Шмідта.

На контурах також можна застосовувати ортогоналізацію. В такому випадку замінюється на Функція має вигляд де отримується з умови Маємо

Таким чином, знаходячи перші функцій приходимо до функції яка повинна бути лінійною комбінацією цих функцій, а також функції Відповідно,

- цей вираз можна помножити на й проінтегрувати отриманий вираз

Умова дає Щоб послідовно обчислити можна застосувати рівняння

Або через визначники можна записати

де - Визначник Грама для функції

Функції є лінійно незалежними, якщо визначник дорівнює нулю.

Посилання

  1. Кудрявцев Л. Д.. Математический анализ, т. 2. с. 331.
  2. Кудрявцев Л. Д. с. 331

Див. також

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.