Ортогональність
Ортогональність (від грец. ὀρθός — прямий і грец. γωνία — кут) — термін, яким позначають перпендикулярність векторів.
Визначення
Нехай — прегільбертів простір. Елементи , називаються ортогональними, якщо їх скалярний добуток дорівнює 0, тобто ; що позначається .[1]
Множина векторів називається ортогональною, якщо довільна пара з цієї множини ортогональна. Якщо всі вектори цієї множини одиничні, то вона називається множиною ортнормованих векторів. Не-нульові ортогональні вектори лінійно незалежні.[2]
Якщо для системи векторів простору визначник Грамма дорівнює 0, то ці вектори лінійно залежні.
В Евклідовому просторі
В 2- або 3- вимірному Евклідовому просторі два вектори ортогональні, якщо скалярний добуток цих векторів дорівнює нулю, тобто кут між ними 90° або π/2 радіан. Таким чином, ортогональність векторів є узагальненням перпендикулярності.
В Евклідових підпросторах ортогональним доповненням прямої є площина, і навпаки.
Ортогональні функції
Дві дійсні функції та є ортогональними одна щодо одної у інтервалі якщо
Аналогією до поняття ортогональності є векторна теорія, де (у трьохвимірному випадку) для вектори є ортогональними, коли
У -вимірному просторі вектори ортогональні, якщо У -вимірному просторі, у якому мають неперервний розподіл, є неперервною змінною таким чином переходить у Поняття функції переводиться таким чином у поняття вектора у -вимірному просторі. Інтеграл
визначає скалярний добуток у функціональному просторі. У такому просторі скалярний (внутрішній) добуток визначається так само, як й у скінченних векторних просторах, відповідно, таким самим чином можна визначити ортогональність.
Якщо дана похідна, неперервна на відрізку , функції і необхідно розкласти її по набору лінійно незалежних функцій для якої існує то можна усереднено апроксимувати її лінійною сукупністю Коефіцієнти підібрати важко, якщо набір є ортонормованим. У процесі ортогоналізації функції замінюється таким самим числом числом нових функцій які є лінійними комбінаціями попередніх функцій, тобто
Такий алгоритм має назву процесу Грама-Шмідта.
На контурах також можна застосовувати ортогоналізацію. В такому випадку замінюється на Функція має вигляд де отримується з умови Маємо
Таким чином, знаходячи перші функцій приходимо до функції яка повинна бути лінійною комбінацією цих функцій, а також функції Відповідно,
- цей вираз можна помножити на й проінтегрувати отриманий вираз
Умова дає Щоб послідовно обчислити можна застосувати рівняння
Або через визначники можна записати
де - Визначник Грама для функції
Функції є лінійно незалежними, якщо визначник дорівнює нулю.
Посилання
- Кудрявцев Л. Д.. Математический анализ, т. 2. с. 331.
- Кудрявцев Л. Д. с. 331