Ортогональність

Нехай ${\displaystyle R}$ — прегільбертів простір. Елементи ${\displaystyle x\in R}$, ${\displaystyle y\in R}$ називаються ортогональними, якщо їх скалярний добуток дорівнює 0, тобто ${\displaystyle \langle x,y\rangle =0}$; що позначається ${\displaystyle x\perp y}$.[1]

Множина векторів називається ортогональною, якщо довільна пара з цієї множини ортогональна. Якщо всі вектори цієї множини одиничні, то вона називається множиною ортнормованих векторів. Не-нульові ортогональні вектори лінійно незалежні.[2]

Якщо для системи векторів ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}$ простору ${\displaystyle R}$ визначник Грамма дорівнює 0, то ці вектори лінійно залежні.

В 2- або 3- вимірному Евклідовому просторі два вектори ортогональні, якщо скалярний добуток цих векторів дорівнює нулю, тобто кут між ними 90° або π/2 радіан. Таким чином, ортогональність векторів є узагальненням перпендикулярності.

В Евклідових підпросторах ортогональним доповненням прямої є площина, і навпаки.

Дві дійсні функції ${\displaystyle f(x)}$ та ${\displaystyle g(x)}$ є ортогональними одна щодо одної у інтервалі ${\displaystyle a\leq x\leq b,}$ якщо

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)g(x)dx=0.}$

Аналогією до поняття ортогональності є векторна теорія, де (у трьохвимірному випадку) для вектори ${\displaystyle A,B}$ є ортогональними, коли

${\displaystyle A\cdot B=A_{1}B_{1}+A_{2}B_{2}+A_{3}B_{3}=0.}$

У ${\displaystyle n}$-вимірному просторі вектори ортогональні, якщо ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}A_{i}B_{i}=0.}$ У ${\displaystyle \infty }$-вимірному просторі, у якому ${\displaystyle A_{i},B_{i}}$ мають неперервний розподіл, ${\displaystyle i}$ є неперервною змінною ${\displaystyle f(x),}$ таким чином ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}A_{i}B_{i}}$ переходить у ${\displaystyle \int A(x)B(x)dx.}$ Поняття функції переводиться таким чином у поняття вектора у ${\displaystyle \infty }$-вимірному просторі. Інтеграл

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)g(x)dx=f\cdot g}$

визначає скалярний добуток у функціональному просторі. У такому просторі скалярний (внутрішній) добуток визначається так само, як й у скінченних векторних просторах, відповідно, таким самим чином можна визначити ортогональність.

Якщо дана похідна, неперервна на відрізку ${\displaystyle (a,b)}$, функції ${\displaystyle f(x)}$ і необхідно розкласти її по набору лінійно незалежних функцій ${\displaystyle f_{i}(x),}$ для якої існує ${\displaystyle \int _{a}^{b}|f_{i}(x)|^{2}dx,}$ то можна усереднено апроксимувати її лінійною сукупністю ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}c_{i}f_{i}(x).}$ Коефіцієнти підібрати важко, якщо набір є ортонормованим. У процесі ортогоналізації функції ${\displaystyle f_{1}(x),f_{2},...,f_{n}(x),...}$ замінюється таким самим числом числом нових функцій ${\displaystyle \varphi _{1}(x),\varphi _{2},...,\varphi _{n}(x),...,}$ які є лінійними комбінаціями попередніх функцій, тобто

${\displaystyle \varphi _{n}(x)=c_{1}^{(n)}f_{1}(x)+c_{2}^{(n)}f_{2}(x)+...+c_{n}^{(n)}f_{n}(x).}$

Такий алгоритм має назву процесу Грама-Шмідта.

На контурах також можна застосовувати ортогоналізацію. В такому випадку ${\displaystyle \int _{a}^{b}}$ замінюється на ${\displaystyle \int _{C}.}$ Функція ${\displaystyle \varphi _{1}(x)}$ має вигляд ${\displaystyle af_{1}(x),}$ де ${\displaystyle a}$ отримується з умови ${\displaystyle \int _{a}^{b}\varphi _{1}^{2}dx=1.}$ Маємо

${\displaystyle \varphi _{1}(x)=f_{1}(x)/[\int _{a}^{b}|f_{1}(x)|^{2}dx]^{1/2}.}$

Таким чином, знаходячи перші ${\displaystyle n}$ функцій ${\displaystyle \varphi _{1}(x),\varphi _{2},...,\varphi _{n}(x),}$ приходимо до функції ${\displaystyle \varphi _{n+1}(x),}$ яка повинна бути лінійною комбінацією цих функцій, а також функції ${\displaystyle f_{n+1}(x).}$ Відповідно,

${\displaystyle \varphi _{n+1}(x)=a_{1}\varphi _{1}(x)+a_{2}\varphi _{2}(x)+...+a_{n}\varphi _{n}(x)+f_{n+i}(x)}$ - цей вираз можна помножити на ${\displaystyle \varphi _{i}(x)}$ й проінтегрувати отриманий вираз

${\displaystyle a_{i}+a\int _{a}^{b}f_{n+1}(x)\varphi _{i}(x)dx=0.}$

Умова ${\displaystyle \int _{a}^{b}\varphi _{1}^{2}dx=1}$ дає ${\displaystyle a.}$ Щоб послідовно обчислити ${\displaystyle \varphi _{1}(x),\varphi _{2},...,\varphi _{n}(x),}$ можна застосувати рівняння

${\displaystyle \varphi _{n+1}(x)={\frac {f_{n+1}(x)\sum _{i=1}^{n}[\int _{a}^{b}f_{n+1}\varphi _{i}dx]\varphi _{i}(x)}{\{\int _{a}^{b}[f_{n+1}(x)-\sum _{i=1}^{n}(\int _{a}^{b}f_{n+1}\varphi _{i}\,dx)\varphi _{i}(x)]^{2}dx\}^{1/2}}}.}$

Або через визначники можна записати

${\displaystyle \varphi _{n}(x)={\frac {\begin{vmatrix}(f_{1}\cdot f_{1})&(f_{1}\cdot f_{2})&...&(f_{1}\cdot f_{n-1})&f_{1}(x)\\(f_{2}\cdot f_{1})&(f_{2}\cdot f_{1})&...&(f_{2}\cdot f_{n-1})&f_{2}(x)\\...&...&...&...&...\\(f_{n}\cdot f_{1})&(f_{n}\cdot f_{2})&...&(f_{n}\cdot f_{n-1})&f_{n}(x)\end{vmatrix}}{(\Delta _{n-1}\cdot \Delta _{n})^{1/2}}},}$

де ${\displaystyle \Delta _{n}}$- Визначник Грама для функції ${\displaystyle f_{1},f_{2},...,f_{n}}$

${\displaystyle \Delta _{n}={\begin{vmatrix}(f_{1}\cdot f_{1})&(f_{1}\cdot f_{2})&...&(f_{1}\cdot f_{n})\\(f_{2}\cdot f_{1})&(f_{2}\cdot f_{1})&...&(f_{2}\cdot f_{n})\\...&...&...&...\\(f_{n}\cdot f_{1})&(f_{n}\cdot f_{2})&...&(f_{n}\cdot f_{n})\end{vmatrix}}.}$

Функції ${\displaystyle f_{1}(x),f_{2}(x),...,f_{n}(x)}$ є лінійно незалежними, якщо визначник дорівнює нулю.

• Перпендикулярність
• Базис (математика)
• Ряд Фур'є, Ряд Тейлора
• Ортогональність (хімія)