Перетворення Боголюбова

Перетворення Боголюбова — унітарне перетворення, що дозволяє перейти від одного набору операторів народження та знищення до іншого і застосовується здебільшого для діагоналізації гамільтоніана. Перетворення названі на честь Миколи Миколайовича Боголюбова[1].

Нехай задані оператори народження і знищення із комутаційним співвідношенням:

${\displaystyle [{\hat {a}}^{\dagger },{\hat {a}}]}$ = 1,

де квадратні дужки означають комутатор для бозонів або антикомутатор для ферміонів

Перехід до нових операторів здійснюється унітарним перетоворенням:

${\displaystyle {\hat {a}}^{\prime }=u{\hat {a}}+v{\hat {a}}^{\dagger }}$

${\displaystyle {\hat {a}}^{\prime \dagger }=u^{*}{\hat {a}}^{\dagger }+v^{*}{\hat {a}}}$.

де u та v - комплексні числа. Тоді при виконанні умови

${\displaystyle |u|^{2}\mp |v|^{2}=1}$,

нові оператори задовільнятимуть комутаційним співвідношенням

${\displaystyle [{\hat {a}}^{\prime \dagger },{\hat {a}}^{\prime }]}$ = 1.

Знак мінус відповідає бозонам, плюс — ферміонам. При виконанні зазначеної умови при виборі чисел u та v залишається довільність, яку можна використати для інших цілей.