Унітарне перетворення

Унітарне перетворення — це ізоморфізм між двома Гільбертовими просторами. Інакше кажучи, унітарне перетворення - це бієкція

${\displaystyle U:H_{1}\to H_{2}\,}$

де ${\displaystyle H_{1}}$ та ${\displaystyle H_{2}}$ - Гільбертові простори, така, що

${\displaystyle \langle Ux,Uy\rangle =\langle x,y\rangle }$

для всіх ${\displaystyle x}$ та ${\displaystyle y}$ в ${\displaystyle H_{1}}$. Унітарне перетворення є ізометрією, що можна побачити, підставивши в цю формулу ${\displaystyle x=y}$.

У випадку, коли ${\displaystyle H_{1}}$ та ${\displaystyle H_{2}}$ є одним і тим самим простором, унітарне перетворення - автоморфізм цього Гільбертового простору, і тоді воно також називається унітарним оператором.

Тісно пов'язаним із цим поняттям є поняття антиунітарного перетворення, тобто бієкції

${\displaystyle U:H_{1}\to H_{2}\,}$

між двома комплексними Гільбертовими просторами, такої, що

${\displaystyle \langle Ux,Uy\rangle ={\overline {\langle x,y\rangle }}=\langle y,x\rangle }$

для всіх ${\displaystyle x}$ та ${\displaystyle y}$ в ${\displaystyle H_{1}}$, де горизонтальною рискою позначене комплексне спряження.