Площа поверхні

Якщо поверхню параметризовано, тобто, задано векторною функцією ${\displaystyle \mathbf {r} (u,v)}$, тоді площа ${\displaystyle S}$, поверхні ${\displaystyle (u,v)\in \Omega }$, обчислюється за формулою:[1]

${\displaystyle S=\iint \limits _{\Omega }|r_{u}\times r_{v}|dudv}$,

де ${\displaystyle r_{u}={\frac {\partial r}{\partial u}}}$ та ${\displaystyle r_{v}={\frac {\partial r}{\partial v}}}$ — дотичні вектори, ${\displaystyle r_{u}\times r_{v}}$ — векторний добуток двох векторів.

Інший вигляд площі параметрично заданої поверхні:

${\displaystyle S=\iint \limits _{\Omega }{\sqrt {EG-F^{2}}}\,dudv}$,

де ${\displaystyle E,F,G}$ — коефіцієнти першої квадратичної форми, ${\displaystyle E=\left(r_{u},r_{u}\right),G=\left(r_{v},r_{v}\right),F=\left(r_{u},r_{v}\right)}$.

Якщо поверхню ${\displaystyle \Omega }$ задано функцією ${\displaystyle z=z(x,y)}$ над деякою областю ${\displaystyle (x,y)\in \Omega '}$ (або ${\displaystyle \Omega '}$ є проекцією поверхні ${\displaystyle \Omega }$ на площину ${\displaystyle xOy}$[2]), тоді

${\displaystyle S=\iint \limits _{\Omega }d\Omega =\iint \limits _{\Omega '}{\sqrt {1+\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)^{2}}}\,dxdy.}$

• Об'єм
• Парадокс маляра
• Площа
• Поверхневий інтеграл
• Поверхня обертання