Поверхневий інтеграл

Рис. 1

Визначення поверхневого інтегралу 1-го роду.

Нехай деяка функція ${\displaystyle f(x,y,z)}$ визначена і обмежена на гладкій поверхні ${\displaystyle S}$. Хай ${\displaystyle Z}$ позначає деяке розбиття ${\displaystyle S}$ на скінченну кількість елементарних поверхонь ${\displaystyle S_{i}}$ (i = 1, 2 …. і) з площами ${\displaystyle \Delta S_{i}}$, ${\displaystyle \Delta (Z)}$ є найбільшим діаметром елементарних поверхонь ${\displaystyle S_{i}}$ і ${\displaystyle M_{i}=(x_{i},y_{i},z_{i})}$ — довільна точка на відповідній елементарній поверхні (Рис. 1). Число

${\displaystyle S(Z)=\sum _{i=1}^{N}{f(x_{i},y_{i},z_{i})\Delta S_{i}}}$

називається інтегральною сумою, що відповідає розбиттю ${\displaystyle Z}$. Якщо існує число ${\displaystyle I}$ з такою властивістю: для кожного ${\displaystyle \epsilon >0}$ знайдеться таке${\displaystyle \Delta (\epsilon )>0}$, що для кожного розбиття ${\displaystyle Z}$ з ${\displaystyle \Delta (Z)<\Delta }$, незалежно від вибору точок ${\displaystyle M_{i}}$ ${\displaystyle |S(Z)-I|<\Delta }$, то ${\displaystyle I}$ називається поверхневим інтегралом 1-го роду від ${\displaystyle f(x,y,z)}$ по поверхні ${\displaystyle S}$ і записується

${\displaystyle I=\iint \limits _{S}f(x,y,z)\ \mathrm {d} s}$.

Для окремого випадку підінтегрального виразу ${\displaystyle f(x,y,z)\equiv 1}$

число ${\displaystyle I}$ дає площу ${\displaystyle S}$ поверхні ${\displaystyle S}$.

Обчислення (зведення до подвійного інтеграла): якщо поверхня задана параметрично:

${\displaystyle x=x(u,v)}$, ${\displaystyle y=y(u,v)}$, ${\displaystyle z=z(u,v)}$,

причому ${\displaystyle u}$ та ${\displaystyle v}$ пробігають область ${\displaystyle \Gamma }$ площини ${\displaystyle u}$, ${\displaystyle v}$

${\displaystyle I=\iint \limits _{S}f(x,y,z)\ \mathrm {d} s=\iint \limits _{\Gamma }f(x(u,v),y(u,v),z(u,v)){\sqrt {EG-F^{2}}}\,\mathrm {d} u\mathrm {d} v}$.

Якщо поверхня задана явно рівнянням ${\displaystyle z=\phi (x,y)}$ причому ${\displaystyle (x,y)}$ пробігають область ${\displaystyle S'}$, то

${\displaystyle I=\iint \limits _{S}f(x,y,z)\ \mathrm {d} s=\iint \limits _{S'}f(x,y,\phi (x,y)){\sqrt {1+p^{2}+q^{2}}}\ \mathrm {d} x\mathrm {d} y}$.

Аналогічні формули вірні, якщо ${\displaystyle S}$ представлена рівняннями виду ${\displaystyle x=\psi (y,z)}$ чи ${\displaystyle y=\chi (x,z)}$.

Рис. 2

Орієнтація двосторонньої незамкнутої поверхні: вибирається певна сторона поверхні ${\displaystyle S}$; на кожній замкнутій кривій на ${\displaystyle S}$ визначається додатний напрям обходу так, що він разом з нормаллю вибраної сторони утворював праву трійку векторів.

Нехай в точках поверхні ${\displaystyle S}$, розташованої однозначно над площиною ${\displaystyle x,y}$ і заданою явно рівнянням ${\displaystyle z=\phi (x,y)}$, визначена обмежена функцією ${\displaystyle f(x,y,z)}$. Нехай ${\displaystyle Z}$ є розбиття поверхні ${\displaystyle S}$ на скінченну кількість елементарних поверхонь ${\displaystyle S_{i}}$, ${\displaystyle (i=1,2,....n)}$, ${\displaystyle \Delta {Z}}$ — найбільший діаметр елементарних поверхонь, ${\displaystyle M_{i}=(x_{i},y_{i},z_{i})}$ — довільна точка, вибрана на елементарній поверхні ${\displaystyle S_{i}}$. Якщо вибрана певна сторона поверхні і тим самим орієнтація по ній, то напрям обходу межі кожної елементарної поверхні ${\displaystyle S_{i}}$ визначає напрям обходу в площині ${\displaystyle x,y}$, біля кордону проєкції ${\displaystyle S'_{i}}$. Площа ${\displaystyle \Delta S'_{i}}$ цієї проєкції береться із знаком «+», якщо межа проєкції ${\displaystyle S'_{i}}$ проходиться в додатному напрямі; інакше — із знаком «—» (Рис. 2).

Число

${\displaystyle S(Z)=\sum _{i=1}^{N}f(x_{i},y_{i},z_{i})\Delta S'_{i}}$

називається інтегральною сумою, що відповідає розбиттю ${\displaystyle Z}$. На противагу утворенню інтегральних сум поверхневих інтегралів 1-го роду, тут ${\displaystyle f(M_{i})}$ множиться не на площу ${\displaystyle \Delta S'_{i}}$ (елементарній поверхні ${\displaystyle S_{i}}$ а на взяту із знаком площа ${\displaystyle \Delta S'_{i}}$ проєкції ${\displaystyle S'_{i}}$ поверхні ${\displaystyle S_{i}}$ на площину ${\displaystyle x,y}$.

Якщо існує число ${\displaystyle I}$ з такою властивістю: для кожного ${\displaystyle \epsilon >0}$ знайдеться таке ${\displaystyle \Delta (\epsilon )>0}$, що для кожного розбиття ${\displaystyle Z}$ з ${\displaystyle \Delta (Z)<\Delta }$, незалежно від вибору точок ${\displaystyle M_{i}}$, завжди |${\displaystyle |S(Z)-I|<\epsilon }$, то ${\displaystyle I}$ називають поверхневим інтегралом 2-го роду від

${\displaystyle f(x,y,z)}$ за вибраною стороною ${\displaystyle S}$ і пишуть

${\displaystyle \iint \limits _{S}f(x,y,z)\ \mathrm {d} x\;\mathrm {d} y}$.

Якщо ${\displaystyle S}$ не має взаємно однозначної проєкції на площину ${\displaystyle x,y}$, але її можна розбити на скінченну кількість поверхонь, для кожної з яких існує така проєкція, то поверхневий інтеграл по ${\displaystyle S}$ визначається як сума інтегралів по окремих поверхнях.

Якщо ${\displaystyle S}$ має однозначну проєкцію на площину ${\displaystyle y,z}$ або ${\displaystyle x,z}$, то можна визначити аналогічно два інших поверхневих інтеграла 2-го роду:

${\displaystyle \iint \limits _{S}f(x,y,z)\ \mathrm {d} y\mathrm {d} z}$ та

${\displaystyle \iint \limits _{S}f(x,y,z)\ \mathrm {d} z\mathrm {d} x}$,

де у відповідних інтегральних сумах стоять площі проєкцій ${\displaystyle S_{i}}$ на площину ${\displaystyle y,z}$ або ${\displaystyle x,z}$.

Нарешті, для трьох функцій ${\displaystyle P(x,y,z)}$, ${\displaystyle Q(x,y,z)}$, ${\displaystyle R(x,y,z)}$, визначених на ${\displaystyle S}$, ці інтеграли можна додати і визначити загальніший поверхневий інтеграл другого роду:

${\displaystyle \iint \limits _{S}P\;\mathrm {d} y\;\mathrm {d} z+Q\;\mathrm {d} z\;\mathrm {d} x+R\;\mathrm {d} x\;\mathrm {d} y=\iint \limits _{S}P\;\mathrm {d} y\;\mathrm {d} z+\iint \limits _{S}Q\;\mathrm {d} z\;\mathrm {d} x+\iint \limits _{S}R\;\mathrm {d} x\;\mathrm {d} y}$.

1. Нехай поверхня ${\displaystyle S}$ має явне представлення ${\displaystyle z=\phi (x,y)}$, причому ${\displaystyle (x,y)}$ змінюються в області ${\displaystyle S'}$. Тоді поверхневий інтеграл по тій стороні ${\displaystyle S}$, для якої кут між нормаллю і віссю ${\displaystyle z}$ є гострим, обчислюється так:

${\displaystyle \iint \limits _{S}f(x,y,z)\mathrm {d} x\mathrm {d} y=-\iint \limits _{S'}f(x,y,\phi (x,y)).}$

Якщо вибрана інша сторона поверхні, то

${\displaystyle \iint \limits _{S}f(x,y,z)\mathrm {d} x\mathrm {d} y=\iint \limits _{S}f(x,y,\phi (x,y)).}$

Аналогічні формули виходять для інших інтегралів:

${\displaystyle \iint \limits _{S}f(x,y,z)\mathrm {d} y\mathrm {d} z=-\iint \limits _{S'}f(\psi (y,z),y,z),}$

де ${\displaystyle S}$ задана рівнянням ${\displaystyle x=\psi (y,z)}$, ${\displaystyle S'}$ — проєкція ${\displaystyle S}$ на площину ${\displaystyle y,z}$, а поверхневий інтеграл береться по тій стороні, нормаль до якої утворює з віссю ${\displaystyle x}$ гострий кут. Так само

${\displaystyle \iint \limits _{S}f(x,y,z)\mathrm {d} z\mathrm {d} x=-\iint \limits _{S'}f(x,\chi (z,x),y)\mathrm {d} z\mathrm {d} x,}$

де ${\displaystyle S}$ задана рівнянням ${\displaystyle y=\chi (z,x)}$, ${\displaystyle S'}$ проєкція ${\displaystyle S}$ на площину ${\displaystyle x,z}$, а поверхневий інтеграл береться по тій стороні, нормаль до якої складає з віссю у гострий кут.

2. Якщо поверхня ${\displaystyle S}$ задана в параметричній формі: ${\displaystyle x=x(u,v)}$, ${\displaystyle y=y(u,v)}$, ${\displaystyle z=z(u,v)}$, то

${\displaystyle \iint \limits _{S}f(x,y,z)\mathrm {d} x\mathrm {d} y=\pm \iint \limits _{\Gamma }f(x(u,v),y(u,v),z(u,v))C\;\mathrm {d} u\;\mathrm {d} v}$

${\displaystyle \iint \limits _{S}f(x,y,z)\mathrm {d} y\mathrm {d} z=\pm \iint \limits _{\Gamma }f(x(u,v),y(u,v),z(u,v))A\;\mathrm {d} u\;\mathrm {d} v}$

${\displaystyle \iint \limits _{S}f(x,y,z)\mathrm {d} z\mathrm {d} x=\pm \iint \limits _{\Gamma }f(x(u,v),y(u,v),z(u,v))B\;\mathrm {d} u\;\mathrm {d} v}$

де

${\displaystyle A={\partial (y,z) \over \partial (u,v)}}$

${\displaystyle B={\partial (z,x) \over \partial (u,v)}}$

${\displaystyle C={\partial (x,y) \over \partial (u,v)}}$

дивись рівняння угорі, додатний знак перед інтегралом справа використовується тоді, коли орієнтація області ${\displaystyle \Gamma }$ площини ${\displaystyle u,v}$ відповідає орієнтації вибраної сторони. Для суми трьох інтегралів отримуємо

${\displaystyle \iint \limits _{S}P\;\mathrm {d} y\;\mathrm {d} z+Q\;\mathrm {d} z\;\mathrm {d} x+R\;\mathrm {d} x\;\mathrm {d} y=\pm \iint \limits _{\Gamma }(PA+QB+RC)\;\mathrm {d} u\;\mathrm {d} v}$

Якщо ${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle \beta }$, ${\displaystyle \gamma }$ — кути нормалі до вибраної сторони поверхні з осями ${\displaystyle x,y}$ і ${\displaystyle z}$, то

${\displaystyle \iint \limits _{S}{P\;\mathrm {d} y\;\mathrm {d} z+Q\;\mathrm {d} z\;\mathrm {d} x+R}\;\mathrm {d} x\;\mathrm {d} y=\pm {\iint \limits _{S}{(P\;\cos \alpha +Q\;\cos \beta \;+R\cos \gamma )}\;\mathrm {d} S}}$

тобто поверхневий інтеграл 2-го роду, що стоїть зліва, перетвориться в поверхневий інтеграл 1-го роду, що стоїть справа.

Рис. 3

Поверхневий інтеграл

${\displaystyle \iint \limits _{S}P\;\mathrm {d} y\;\mathrm {d} z+Q\;\mathrm {d} z\;\mathrm {d} x+R\;\mathrm {d} x\;\mathrm {d} y}$

має для різних незамкнутих поверхонь ${\displaystyle S_{1}}$ і ${\displaystyle S_{2}}$ з однією і тією ж границею ${\displaystyle C}$ у загальному випадку різні значення (Рис. 3), тобто він в загальному випадку не обертається в нуль на замкнутій поверхні (аналогічно залежності від шляху криволінійного інтеграла). Якщо функції

${\displaystyle P,Q,R,{\partial P \over \partial x},{\partial Q \over \partial y},{\partial R \over \partial z}}$

неперервні в однозв'язній просторовій області ${\displaystyle V}$ (тобто в області, яка разом з кожною замкнутою поверхнею містить також і область, обмежену цією поверхнею), то поверхневий інтеграл по всякій замкнутій поверхні ${\displaystyle S}$ в ${\displaystyle V}$ обертається в нуль тоді і тільки тоді, коли

${\displaystyle {\partial P \over \partial x}+{\partial Q \over \partial y}+{\partial R \over \partial z}=0}$

Об'єм ${\displaystyle \!V}$ тіла (${\displaystyle \!V}$), обмеженого кусково гладкими поверхнями ${\displaystyle \!S}$, можна різними способами обчислити як поверхневий інтеграл другого роду:

${\displaystyle \!V=\iint _{S}z\;dx\;dy}$

чи

${\displaystyle \!V=\iint _{S}x\;dy\;dz}$

чи

${\displaystyle \!V=\iint _{S}y\;dz\;dx}$

або

${\displaystyle \!V={1 \over 3}\iint _{S}x\;dy\;dz+y\;dz\;dx+z\;dx\;dy}$

при цьому інтеграли слід брати по зовнішній стороні поверхні ${\displaystyle \!S}$.

Якщо поверхня ${\displaystyle \!S}$ покрита масою з поверхневою густиною ${\displaystyle \!\delta (x,y,z)}$, то повна маса поверхні ${\displaystyle \!S}$ дорівнює

${\displaystyle \!M=\iint _{S}\delta (x,y,z)\;dS}$

координати ${\displaystyle \!(\xi ,\eta ,\zeta )}$ центру тяжіння дорівнюють

${\displaystyle \!\xi ={1 \over M}\iint _{S}x\delta (x,y,z)\;dS}$

${\displaystyle \!\eta ={1 \over M}\iint _{S}y\delta (x,y,z)\;dS}$

${\displaystyle \!\zeta ={1 \over M}\iint _{S}z\delta (x,y,z)\;dS}$

компоненти сили притягання ${\displaystyle \!F}$ цього розподілу маси, що діє на матеріальну точку ${\displaystyle \!M=(x_{0},y_{0},z_{0})}$ одиничної маси, дорівнюють

${\displaystyle \!F_{x}=\gamma \iint _{S}{{x-x_{0}} \over r^{3}}\;dS}$

${\displaystyle \!F_{y}=\gamma \iint _{S}{{y-y_{0}} \over r^{3}}\;dS}$

${\displaystyle \!F_{z}=\gamma \iint _{S}{{z-z_{0}} \over r^{3}}\;dS}$

${\displaystyle \!\gamma =const}$