Подвійне відношення

• Подвійне відношення зберігається при дробово-лінійних перетвореннях, зокрема не залежить від вибору координат на прямій.
• ${\displaystyle (ab,cd)={\frac {1}{(ba,cd)}}={\frac {1}{(ab,dc)}}=1-(ac,bd)}$
• ${\displaystyle (ab,cd)(ab,de)=(ab,ce)}$

Подвійним (або складним) відношенням четвірки точок ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle C}$, ${\displaystyle D}$, що лежать на одній (дійсній або комплексній) прямій, називають число

${\displaystyle (AB,CD)={\frac {c-a}{c-b}}:{\frac {d-a}{d-b}},}$

де через ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$, ${\displaystyle d}$ позначені координати точок ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle C}$, ${\displaystyle D}$ відповідно. Подвійне відношення не залежить від вибору координати на прямій. Часто пишуть також так:

${\displaystyle (AB,CD)={\frac {AC}{BC}}:{\frac {AD}{BD}},}$

припускаючи, що через ${\displaystyle AC/BC}$ (відповідно ${\displaystyle AD/BD}$) позначено відношення направлених відрізків.

• Подвійне відношення четвірки точок на прямій зберігається при проєктивних перетвореннях площини або простору.

Подвійним відношенням четвірки прямих ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$, ${\displaystyle d}$, що проходять через одну точку, називають число

${\displaystyle (ab,cd)=\pm {\frac {\sin(a,c)}{\sin(b,c)}}:{\frac {\sin(a,d)}{\sin(b,d)}},}$

знак якого вибирається таким чином: якщо один з кутів, утворених прямими ${\displaystyle a}$ та ${\displaystyle b}$, не перетинається з жодною з прямих ${\displaystyle c}$ або ${\displaystyle d}$ (у цьому випадку кажуть, що пара прямих ${\displaystyle a}$ та ${\displaystyle b}$ не розділяє пару прямих ${\displaystyle c}$ та ${\displaystyle d}$), то ${\displaystyle (ab,cd)>0}$; в протилежному випадку ${\displaystyle (ab,cd)<0}$.

• Нехай четвірка прямих ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$, ${\displaystyle d}$ проходить через точку ${\displaystyle O}$, а пряма ${\displaystyle \ell }$ не містить ${\displaystyle O}$.

Вважатимемо, що прямі ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$, ${\displaystyle d}$ перетинаються з ${\displaystyle \ell }$ відповідно в точках ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle C}$ та ${\displaystyle D}$. Тоді

• ${\displaystyle (ab,cd)=(AB,CD).}$

• Гармонічна четвірка
• Просте відношення
• Пропорційні відрізки

• Р.Курант, Г.Роббинс, Что такое математика?(рос.)
• Ангармоническое отношение точек // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп. т.). — СПб., 1890—1907. (рос. дореф.)
• Шаль, Мишель. Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов/Примечание IX/ДО|Об ангармонической функции четырех точек или четырех прямых // Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов. Т. 2. Прим. IX. М., 1883.(рос.)