Поліноми Якобі

Вони походять з гіпергеометричних функцій у тих випадках, коли наступні ряди кінцеві:

${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {(\alpha +1)_{n}}{n!}}\,_{2}F_{1}\left(-n,1+\alpha +\beta +n;\alpha +1;{\frac {1-z}{2}}\right),}$

де ${\displaystyle (\alpha +1)_{n}}$ є символом Похгаммера (для зростаючого факторіалу), (Абрамович і Стегун стор.561) і, таким чином, явний вираз

${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {\Gamma (\alpha +n+1)}{n!\,\Gamma (\alpha +\beta +n+1)}}\sum _{m=0}^{n}{n \choose m}{\frac {\Gamma (\alpha +\beta +n+m+1)}{\Gamma (\alpha +m+1)}}\left({\frac {z-1}{2}}\right)^{m},}$

Звідки одне з кінцевих значень наступне.

${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(1)={n+\alpha \choose n}.}$

Для цілих ${\displaystyle n\,}$

${\displaystyle {z \choose n}={\frac {\Gamma (z+1)}{\Gamma (n+1)\Gamma (z-n+1)}},}$

де ${\displaystyle \Gamma (z)\,}$ — звичайна Гамма-функція, і

${\displaystyle {z \choose n}=0\quad {\hbox{for}}\quad n<0.}$

Ці поліноми задовольняють умові ортогональності.

${\displaystyle \int _{-1}^{1}(1-x)^{\alpha }(1+x)^{\beta }P_{m}^{(\alpha ,\beta )}(x)P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)\;dx={\frac {2^{\alpha +\beta +1}}{2n+\alpha +\beta +1}}{\frac {\Gamma (n+\alpha +1)\Gamma (n+\beta +1)}{\Gamma (n+\alpha +\beta +1)n!}}\delta _{nm}}$

для ${\displaystyle \alpha >-1}$ і ${\displaystyle \beta >-1}$.

Існує відношення сіметрії для поліномів Якобі.

${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(-z)=(-1)^{n}P_{n}^{(\beta ,\alpha )}(z);}$

а тому інше значення поліномів:

${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(-1)=(-1)^{n}{n+\beta \choose n}.}$

Для дійсного ${\displaystyle x}$ поліном Якобі може бути записаний наступним чином.

${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)=\sum _{s}{n+\alpha \choose s}{n+\beta \choose n-s}\left({\frac {x-1}{2}}\right)^{n-s}\left({\frac {x+1}{2}}\right)^{s}}$

де ${\displaystyle s\geq 0\,}$ і ${\displaystyle n-s\geq 0\,}$. У спеціальному випадку, коли ${\displaystyle n}$, ${\displaystyle n+\alpha }$, ${\displaystyle n+\beta }$ і ${\displaystyle n+\alpha +\beta }$ — невід'ємні цілі, поліном Якобі може приймати наступний вигляд

${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)=(n+\alpha )!(n+\beta )!\sum _{s}\left[s!(n+\alpha -s)!(\beta +s)!(n-s)!\right]^{-1}\left({\frac {x-1}{2}}\right)^{n-s}\left({\frac {x+1}{2}}\right)^{s}.}$

Сума береться по всім цілим значенням ${\displaystyle s}$, для яких множники є невід'ємними.

Ця формула дозволяє виразити d-матрицю Вігнера ${\displaystyle d_{m'm}^{j}(\phi )\;}$ (${\displaystyle 0\leq \phi \leq 4\pi }$) у термінах поліномів Якобі[1]

${\displaystyle d_{m'm}^{j}(\phi )=\left[{\frac {(j+m)!(j-m)!}{(j+m')!(j-m')!}}\right]^{1/2}\left(\sin {\frac {\phi }{2}}\right)^{m-m'}\left(\cos {\frac {\phi }{2}}\right)^{m+m'}P_{j-m}^{(m-m',m+m')}(\cos \phi ).}$

k-та похідна явного виразу призводить до

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{k}}{\mathrm {d} z^{k}}}P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {\Gamma (\alpha +\beta +n+1+k)}{2^{k}\Gamma (\alpha +\beta +n+1)}}P_{n-k}^{(\alpha +k,\beta +k)}(z).}$

• Список об'єктів, названих на честь Карла Якобі

• Andrews, George E.; Askey, Richard; Roy, Ranjan (1999). Special functions. Encyclopedia of Mathematics and its Applications 71. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-62321-6; 978-0-521-78988-2 Перевірте значення |isbn= (довідка). MR1688958.
• Koornwinder, Tom H.; Wong, Roderick S. C.; Koekoek, Roelof; Swarttouw, René F. Orthogonal Polynomials. NIST Handbook of Mathematical Functions. Cambridge University Press. ISBN 978-0521192255.