Гіпергеометрична функція

Розв'язки гіпергеометричного диференціального рівняння будуються за допомогою гіпергеометричного ряду ${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)}$. Рівняння має два лінійно незалежних розв'язки. У кожній з трьох особливих точок 0, 1, ${\displaystyle \infty }$, зазвичай є два спеціальні розв'язки вигляду ${\displaystyle x^{s}}$, помножені на голоморфну функцію змінної ${\displaystyle x}$, де ${\displaystyle s}$ — один з двох коренів визначального рівняння (однорідного лінійного диференціального рівняння в особливій точці), а ${\displaystyle x}$ — локальна змінна, що зануляється в регулярній особливій точці. Це дає ${\displaystyle 3\cdot 2=6}$ спеціальних розв'язків, як показано нижче.

Якщо ${\displaystyle c}$ не є цілим недодатним числом, то в околі точки ${\displaystyle z=0}$ є два незалежні розв'язки:

${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)}$

і, за умови, що ${\displaystyle c}$ не є цілим числом,

${\displaystyle z^{1-c}\,{}_{2}F_{1}(1+a-c,1+b-c;2-c;z).}$

Якщо ${\displaystyle c}$ не є додатним цілим числом ${\displaystyle 1-m}$, тоді перший з цих розв'язків не існує, і його слід замінити на ${\displaystyle z^{m}\,F(a+m,b+m;1+m;z)}$. Другий розв'язок не існує, якщо ${\displaystyle c}$ є цілим числом, більшим за 1, і дорівнює першому розв'язку або його заміні, якщо ${\displaystyle c}$ є будь-яким іншим цілим числом. Отже, якщо ${\displaystyle c}$ є цілим числом, то для другого розв'язку необхідно використовувати більш складніше співвідношення, що дорівнюють першому розв'язку помноженому на ${\displaystyle \ln(z)}$ плюс інший ряд за степенями ${\displaystyle z}$ та включає дигамма-функцію. Детальніше див. Ольде Даалхуїс (2010)[2].

Якщо ${\displaystyle c-a-b}$ не є цілим числом, то в околі ${\displaystyle z=1}$ є два незалежних розв'язки:

${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;1+a+b-c;1-z)}$

і

${\displaystyle (1-z)^{c-a-b}\,{}_{2}F_{1}(c-a,c-b;1+c-a-b;1-z).}$

Якщо ${\displaystyle a-b}$ не є цілим числом, то в околі ${\displaystyle z=\infty }$ є два незалежних розв'язки:

${\displaystyle z^{-a}\,{}_{2}F_{1}\left(a,1+a-c;1+a-b;z^{-1}\right)}$

і

${\displaystyle z^{-b}\,{}_{2}F_{1}\left(b,1+b-c;1+b-a;z^{-1}\right).}$

Знову ж таки, якщо умови нецілості не виконуються, то існують інші розв'язки, які є більш складними.

Будь-які 3 із вищезазначених 6 розв'язків задовольняють лінійне співвідношення, оскільки простір розв'язків є двовимірним, що дає ${\displaystyle {\binom {6}{3}}=20}$ лінійних співвідношень між ними, які називаються формулами зв'язку.

Рівняння Фукса другого порядку з ${\displaystyle n}$ особливими точками має групу симетрій, що діє (проєктивно) на його розв'язках, і яка ізоморфна групі Коксетера ${\displaystyle D_{n}}$ порядку ${\displaystyle n!2^{n-1}}$. Отже, для гіпергеометричного рівняння ${\displaystyle n=3}$ така група має порядок 24 та ізоморфна симетричній групі на 4 точках, і була вперше описана Куммером. Ізоморфізм з симетричною групою є несподіваним і не має аналога для більш ніж 3 особливих точок, і іноді краще думати про цю групу як про продовження симетричної групи на 3 точки (яка діє як перестановки 3-х особливих точок) за допомогою 4-групи Клейна (елементи якої змінюють знаки різниць експонент у парній кількості особливих точок). Група Куммера з 24 перетворень породжується трьома перетвореннями, що перетворють розв'язок ${\displaystyle F(a,b;c;z)}$ до одного з виглядів:

${\displaystyle (1-z)^{-a}F\left(a,c-b;c;{\dfrac {z}{z-1}}\right),}$

${\displaystyle F(a,b;1+a+b-c;1-z),}$

${\displaystyle (1-z)^{-b}F\left(c-a,b;c;{\dfrac {z}{z-1}}\right),}$

які відповідають транспозиціям (12), (23) та (34) при ізоморфізмі з симетричною групою на 4 точках 1, 2, 3, 4. (Перший та третій розв'язок з них насправді дорівнюють ${\displaystyle F(a,b;c;z)}$, тоді як другий є незалежним розв'язком диференціального рівняння.)

Застосування ${\displaystyle 24=6\cdot 4}$ перетворень Куммера до гіпергеометричної функції дає ${\displaystyle 6=2\cdot 3}$ розв'язків, що відповідають кожному з 2 можливих експонент у кожній з 3 особливих точок, кожний з яких з'являється 4 рази з огляду на тотожності

${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)=(1-z)^{c-a-b}\,{}_{2}F_{1}\left(c-a,c-b;c;z\right)\qquad }$ (перетворення Ейлера);

${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)=(1-z)^{-a}\,{}_{2}F_{1}\left(a,c-b;c;{\tfrac {z}{z-1}}\right)\qquad }$ (перетворення Пфаффа);

${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)=(1-z)^{-b}\,{}_{2}F_{1}\left(c-a,b;c;{\tfrac {z}{z-1}}\right)\qquad }$ (перетворення Пфаффа).

Гіпергеометричне диференціальне рівняння можна звести до ${\displaystyle Q}$-форми

${\displaystyle {\dfrac {\operatorname {d} ^{2}u}{\operatorname {d} z^{2}}}+Q(z)u(z)=0}$

за допомогою заміни ${\displaystyle w=uv}$ та виключенням першої похідної. Отримуємо

${\displaystyle Q={\dfrac {z^{2}\left[1-(a-b)^{2}\right]+z\left[2c(a+b-1)-4ab\right]+c(2-c)}{4z^{2}(1-z)^{2}}},}$

а ${\displaystyle v}$ визначається як розв'язок диференціального рівняння

${\displaystyle {\dfrac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} z}}\log v(z)=-{\dfrac {c-z(a+b+1)}{2z(1-z)}}=-{\dfrac {c}{2z}}-{\dfrac {1+a+b-c}{2(z-1)}},}$

тобто

${\displaystyle v(z)=z^{-c/2}(1-z)^{(c-a-b-1)/2}.}$

${\displaystyle Q}$-форма є важливою через її зв'язок з похідною Шварца (Hille 1976[6], с. 307-401).

Трикутні відображення Шварца або ${\displaystyle s}$-функції Шварца є відношеннями пар розв'язків:

${\displaystyle s_{k}(z)={\dfrac {\phi _{k}^{(1)}(z)}{\phi _{k}^{(0)}(z)}},}$

де ${\displaystyle k}$ — одна з точок 0, 1, ${\displaystyle \infty }$. Іноді також використовується позначення

${\displaystyle D_{k}(\lambda ,\mu ,\nu ;z)=s_{k}(z).}$

Зауважимо, що коефіцієнти зв'язку стають перетвореннями Мебіуса при трикутних відображеннях.

Кожне трикутне відображення є регулярним при ${\displaystyle z\in \{0,1,\infty \}}$ відповідно до

${\displaystyle s_{0}(z)=z^{\lambda }(1+{\mathcal {O}}(z)),}$

${\displaystyle s_{1}(z)=(1-z)^{\mu }(1+{\mathcal {O}}(1-z))}$

і

${\displaystyle s_{\infty }(z)=z^{\nu }\left(1+{\mathcal {O}}\left({\tfrac {1}{z}}\right)\right).}$

У частинному випадку з дійсними ${\displaystyle \lambda }$, ${\displaystyle \mu }$ та ${\displaystyle \nu }$, причому ${\displaystyle 0\leq \lambda ,\mu ,\nu <1}$, ${\displaystyle s}$-відображення є конформними відображеннями верхньої півплощини ${\displaystyle \mathbf {H} }$ у трикутники на сфері Рімана, що обмежені дугами кіл. Це відображення є узагальненням відображення Шварца–Крістоффеля у трикутники з круговими дугами. Особливі точки 0, 1 і ${\displaystyle \infty }$ відображаються у вершини трикутника. Кути трикутника дорівнюють ${\displaystyle \pi \lambda }$, ${\displaystyle \pi \mu }$ та ${\displaystyle \pi \nu }$ відповідно.

Крім того, у випадку, якщо ${\displaystyle \lambda =1/p}$, ${\displaystyle \mu =1/q}$ та ${\displaystyle \nu =1/r}$ для цілих чисел ${\displaystyle p}$, ${\displaystyle q}$, ${\displaystyle r}$, то трикутники замощують сферу, комплексну площину або верхню напівплощину відповідно, якщо ${\displaystyle \lambda +\mu +\nu -1>0}$, ${\displaystyle \lambda +\mu +\nu -1=0}$ або ${\displaystyle \lambda +\mu +\nu -1<0}$; а ${\displaystyle s}$-відображення — обернені функції автоморфних функцій для групи трикутника ${\displaystyle \langle p,q,r\rangle =\Delta (p,q,r)}$.

Монодромія гіпергеометричного рівняння описує як змінюються фундаментальні розв'язки, якщо їх аналітично продовжувати у ${\displaystyle z}$–площині навколо траєкторій, що повертаються до тієї самої точки. Тобто, коли траєкторія обертається навколо сингулярної точки гіпергеометричної функції ${\displaystyle {}_{2}F_{1}}$, то значення розв'язків у кінцевій точці буде відрізнятися від значення у початковій точці.

Два фундаментальних розв'язки гіпергеометричного рівняння пов'язані між собою лінійним перетворенням; таким чином, монодромія є відображенням (груповий гомоморфізм):

${\displaystyle \pi _{1}(\mathbb {C} \setminus \{0,1\},z_{0})\to {\text{GL}}(2,\mathbb {C} ),}$

де ${\displaystyle \pi _{1}}$ — фундаментальна група. Іншими словами, монодромія — це двовимірне лінійне представлення фундаментальної групи. Група монодромії рівняння є образом цього відображення, тобто групою, породженою матрицями монодромії. Представлення монодромії фундаментальної групи можна обчислити явно у термінах експонент в особливих точках[7]. Якщо ${\displaystyle (\alpha ,\alpha ')}$, ${\displaystyle (\beta ,\beta ')}$ та ${\displaystyle (\gamma ,\gamma ')}$ є експонентами в 0, 1 та ${\displaystyle \infty }$, то, вибираючи ${\displaystyle z_{0}}$ в околі 0, петлі навколо 0 та 1 мають матриці монодромії наступного вигляду:

${\displaystyle g_{0}={\begin{pmatrix}{\rm {e}}^{2\pi {\rm {i}}\alpha }&0\\0&{\rm {e}}^{2\pi {\rm {i}}\alpha '}\end{pmatrix}}\qquad }$ та ${\displaystyle \qquad g_{1}={\begin{pmatrix}{\frac {\mu {\rm {e}}^{2\pi {\rm {i}}\beta }-{\rm {e}}^{2\pi {\rm {i}}\beta '}}{\mu -1}}&{\frac {\mu ({\rm {e}}^{2\pi {\rm {i}}\beta }-{\rm {e}}^{2\pi {\rm {i}}\beta '})}{(\mu -1)^{2}}}\\{\rm {e}}^{2\pi {\rm {i}}\beta '}-{\rm {e}}^{2\pi {\rm {i}}\beta }&{\frac {\mu {\rm {e}}^{2\pi {\rm {i}}\beta '}-{\rm {e}}^{2\pi {\rm {i}}\beta }}{\mu -1}}\end{pmatrix}},}$

де

${\displaystyle \mu ={\frac {\sin \pi (\alpha +\beta '+\gamma ')\sin \pi (\alpha '+\beta +\gamma ')}{\sin \pi (\alpha '+\beta '+\gamma ')\sin \pi (\alpha +\beta +\gamma ')}}.}$

Якщо ${\displaystyle 1-a}$, ${\displaystyle c-a-b}$, ${\displaystyle a-b}$ — не цілі раціональні числа зі знаменниками ${\displaystyle k}$, ${\displaystyle l}$, ${\displaystyle m}$, то група монодромії є скінченною тоді й лише тоді, коли ${\displaystyle 1/k+1/l+1/m>1}$, див. список Шварца або алгоритм Ковачича.

Якщо ${\displaystyle {\rm {B}}}$ — це бета-функція, то має місце формула Ейлера:

${\displaystyle \mathrm {B} (b,c-b)\,_{2}F_{1}(a,b;c;z)=\int _{0}^{1}x^{b-1}(1-x)^{c-b-1}(1-zx)^{-a}\,{\rm {d}}x,\qquad \operatorname {Re} (c)>\operatorname {Re} (b)>0,}$

за умови, що ${\displaystyle z}$ не є дійсним числом, таке що воно більше або дорівнює 1 (при ${\displaystyle |z|<1}$ чи ${\displaystyle |z|=1}$ за умови визначеності обох сторін. Розкладаючи ${\displaystyle (1-zx)^{-a}}$ у біноміальний ряд і застосовуючи контурні інтеграли для функції бети, можна одержати інші інтегральні представлення. Якщо ${\displaystyle z}$ є дійсним числом, більшим або рівним ${\displaystyle 1}$, то слід використовувати аналітичне продовження, оскільки ${\displaystyle (1-zx)}$ дорівнює нулю в певній точці визначення інтеграла, тому значення інтегралу може бути погано визначеним. Цей результат було отримано Ейлером в 1748 р. з використанням гіпергеометричних перетворень Ейлера та Пфаффа.

Інші представлення, що відповідають іншим головним гілкам, даються для того ж самого підінтегрального виразу, але як шлях інтегрування обирається замкнений цикл Похаммера, що обходить особливості в різних порядках. Такі шляхи відповідають дії монодромії.

Барнс використовував теорію лишків для оцінки інтеграла Барнса:

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi {\rm {i}}}}\int _{-{\rm {i}}\infty }^{{\rm {i}}\infty }{\frac {\Gamma (a+s)\Gamma (b+s)\Gamma (-s)}{\Gamma (c+s)}}(-z)^{s}\,\operatorname {d} s,}$

як

${\displaystyle {\dfrac {\Gamma (a)\Gamma (b)}{\Gamma (c)}}\,{}_{2}F_{1}(a,b;c;z),}$

де контур обрано так, щоб відокремити полюси ${\displaystyle 0,1,2,\dots }$ від полюсів ${\displaystyle -a,-a-1,\dots ,-b,-b-1,\dots }$. Це справедливо до тих пір, поки ${\displaystyle z}$ не є невід'ємним дійсним числом.

Гіпергеометричну функцію Гауса можна записати у вигляді перетворення Джона (Gelfand, Gindikin & Graev 2003[8], 2.1.2).

Гаус використовував суміжні співвідношення, щоб дати декілька способів запису частки двох гіпергеометричних функцій у вигляді неперервного дробу, наприклад,

${\displaystyle {\dfrac {{}_{2}F_{1}(a+1,b;c+1;z)}{{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {{\dfrac {(a-c)b}{c(c+1)}}z}{1+{\cfrac {{\dfrac {(b-c-1)(a+1)}{(c+1)(c+2)}}z}{1+{\cfrac {{\dfrac {(a-c-1)(b+1)}{(c+2)(c+3)}}z}{1+{\cfrac {{\dfrac {(b-c-2)(a+2)}{(c+3)(c+4)}}z}{1+{}\ddots }}}}}}}}}}}$

Перетворення Ейлера

${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)=(1-z)^{c-a-b}{}_{2}F_{1}(c-a,c-b;c;z)}$

є комбінацією двох перетворень Пфаффа:

${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)=(1-z)^{-b}{}_{2}F_{1}\left(b,c-a;c;{\tfrac {z}{z-1}}\right),}$

${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)=(1-z)^{-a}{}_{2}F_{1}\left(a,c-b;c;{\tfrac {z}{z-1}}\right),}$

які в свою чергу випливають з інтегрального представлення Ейлера. Про узагальнення першого та другого перетворень Ейлера див. Раті й Паріс (2007)[9] та Раха і Раті (2011)[10]. Також гіпергеометричну функцію можна записати як лінійну комбінацію:

${\displaystyle {\begin{aligned}{}_{2}F_{1}(a,b;c,z)={}&{\frac {\Gamma (c)\Gamma (c-a-b)}{\Gamma (c-a)\Gamma (c-b)}}{}_{2}F_{1}(a,b;a+b+1-c;1-z)+\\[6pt]&{}+{\frac {\Gamma (c)\Gamma (a+b-c)}{\Gamma (a)\Gamma (b)}}(1-z)^{c-a-b}{}_{2}F_{1}(c-a,c-b;1+c-a-b;1-z).\end{aligned}}}$

Якщо два з чисел ${\displaystyle 1-c}$, ${\displaystyle c-1}$, ${\displaystyle a-b}$, ${\displaystyle b-a}$, ${\displaystyle a+b-c}$, ${\displaystyle c-a-b}$ рівні або один з них дорівнює 1/2, то існує квадратичне перетворення гіпергеометричної функції, що з'єднує її з іншим значенням ${\displaystyle z}$, пов'язаним квадратним рівнянням. Перші приклади отримано Куммером (1836)[4], а повний перелік — Гурсом (1881)[11]. Типовим прикладом є

${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;2b;z)=(1-z)^{-{\frac {a}{2}}}{}_{2}F_{1}\left({\frac {1}{2}}a,b-{\frac {1}{2}}a;b+{\frac {1}{2}};{\frac {z^{2}}{4z-4}}\right).}$

Якщо ${\displaystyle 1-c}$, ${\displaystyle a-b}$, ${\displaystyle a+b-c}$ відрізняються за знаком, або два з них дорівнюють ${\displaystyle 1/3}$ або ${\displaystyle -1/3}$, то існує кубічне перетворення гіпергеометричної функції, що з'єднує її з іншим значенням ${\displaystyle z}$, пов'язаним кубічним рівнянням. Перші приклади отримано Гурсом (1881)[11]. Типовим прикладом є

${\displaystyle {}_{2}F_{1}\left({\frac {3}{2}}a,{\frac {1}{2}}(3a-1);a+{\frac {1}{2}};-{\frac {z^{2}}{3}}\right)=(1+z)^{1-3a}\,{}_{2}F_{1}\left(a-{\frac {1}{3}},a;2a;2z(3+z^{2})(1+z)^{-3}\right).}$

Існують також деякі перетворення 4 та 6 степенів. Перетворення інших степенів існують лише в тому випадку, якщо ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ та ${\displaystyle c}$ є певними раціональними числами (Відунас 2005[12]). Наприклад,

${\displaystyle {}_{2}F_{1}\left({\frac {1}{4}},{\frac {3}{8}};{\frac {7}{8}};z\right)(z^{4}-60z^{3}+134z^{2}-60z+1)^{1/16}={}_{2}F_{1}\left({\frac {1}{48}},{\frac {17}{48}};{\frac {7}{8}};{\frac {-432z(z-1)^{2}(z+1)^{8}}{(z^{4}-60z^{3}+134z^{2}-60z+1)^{3}}}\right).}$

Теорема про підсумовування Гауса, названа на честь Карла Фрідріха Гауса, є тотожністю

${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;1)={\frac {\Gamma (c)\Gamma (c-a-b)}{\Gamma (c-a)\Gamma (c-b)}},\qquad \operatorname {Re} (c)>\operatorname {Re} (a+b),}$

яка випливає з інтегральної формули Ейлера, якщо взяти ${\displaystyle z=1}$. Вона включає тотожність Вандермонда як частинний випадок.

Для частинного випадку, де ${\displaystyle a=-m}$,

${\displaystyle {}_{2}F_{1}(-m,b;c;1)={\frac {(c-b)_{m}}{(c)_{m}}}.}$

Формула Дугалла узагальнює це співвідношення до двостороннього гіпергеометричного ряду при ${\displaystyle z=1}$.

Є багато випадків, коли гіпергеометричні функції можна обчислити при ${\displaystyle z=-1}$, використовуючи квадратичне перетворення для заміни ${\displaystyle z=-1}$ на ${\displaystyle z=1}$, а потім використовуючи теорему Гауса для обчислення результату. Типовим прикладом є теорема Куммера, яка була названа на честь Ернеста Куммера:

${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;1+a-b;-1)={\frac {\Gamma (1+a-b)\Gamma \left(1+{\tfrac {1}{2}}a\right)}{\Gamma (1+a)\Gamma \left(1+{\tfrac {1}{2}}a-b\right)}},}$

яка випливає з квадратичних перетворень Куммера

${\displaystyle {\begin{aligned}_{2}F_{1}(a,b;1+a-b;z)&=(1-z)^{-a}\;_{2}F_{1}\left({\frac {a}{2}},{\frac {1+a}{2}}-b;1+a-b;-{\frac {4z}{(1-z)^{2}}}\right)=\\&=(1+z)^{-a}\,_{2}F_{1}\left({\frac {a}{2}},{\frac {a+1}{2}};1+a-b;{\frac {4z}{(1+z)^{2}}}\right),\end{aligned}}}$

і теореми Гауса, якщо покласти ${\displaystyle z=-1}$ в першій тотожності. Про узагальнення підсумовування Куммера див. Лавуа, Грондін та Раті (1996)[17].

Друга теорема Гауса про підсумовування:

${\displaystyle _{2}F_{1}\left(a,b;{\tfrac {1}{2}}\left(1+a+b\right);{\tfrac {1}{2}}\right)={\frac {\Gamma ({\tfrac {1}{2}})\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(1+a+b\right))}{\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(1+a)\right)\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(1+b\right))}}.}$

Теорема Бейлі:

${\displaystyle _{2}F_{1}\left(a,1-a;c;{\tfrac {1}{2}}\right)={\frac {\Gamma ({\tfrac {1}{2}}c)\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(1+c\right))}{\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(c+a\right))\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(1+c-a\right))}}.}$

Щодо узагальнення другої теореми Гауса про підсумовування та теореми Бейлі про підсумовування див. Лавуа, Грондін та Раті (1996)[17].

Існує багато інших формул, що представляють гіпергеометричну функцію у вигляді алгебраїчного числа для спеціальних раціональних значень параметрів, деякі з яких наведені в роботах Гесселя і Стентона (1982)[15] та Коепфа (1995)[16]. Деякі типові приклади:

${\displaystyle {}_{2}F_{1}\left(a,-a;{\tfrac {1}{2}};{\tfrac {x^{2}}{4(x-1)}}\right)={\frac {(1-x)^{a}+(1-x)^{-a}}{2}},}$

які можна представити як

${\displaystyle T_{a}(\cos x)={}_{2}F_{1}\left(a,-a;{\tfrac {1}{2}};{\tfrac {1}{2}}(1-\cos x)\right)=\cos(ax),}$

де ${\displaystyle -\pi <x<\pi }$, а ${\displaystyle T}$ — (узагальнений) поліном Чебишова.