Правильний п'ятикутник

Цей метод дещо складніший ніж відомі приблизні методи побудови правильного п’ятикутника. Для того, щоб точно побудувати правильний п’ятикутник, вписаний у коло, потрібно розділити коло на п’ять рівних дуг, які стягують центральні кути по 72 градуси.

1. Будуємо перпендикулярні осі абсцис та ординат, які перетинаються в точці О.

2. Будуємо коло з центром у точці О. Приймаємо, що радіус кола дорівнює одиниці. Отже коло утворює на осях абсцис та ординат відрізки від точки О до кола, довжина яких дорівнює одиниці

3. Будуємо за допомогою циркуля та лінійки пряму, що паралельна осі ординат, яка на осі абсцис ділить навпіл відрізок від точки О до кола. Це можна зробити методом побудови ромба, горизонтальна діагональ якого є нашим діленим відрізком. Вертикальна діагональ ромба ділить горизонтальну діагональ ромба навпіл. Якщо відрізок дорівнює одиниці, то половина відрізка дорівнює одній-другій. Проведемо пряму, яка буде паралельною осі ординат, через точку, що ділить відрізок на осі абсцис навпіл та через вершини ромба.

4. Будуємо на осі абсцис відрізок «золотого перетину», довжина якого дорівнює один плюс корінь із п’яти, ділені на два. Точка, що ділить відрізок на осі абсцис навпіл, точка перетину кола з віссю ординат, та центр кола О утворюють прямокутний трикутник довжина діагоналі якого згідно теореми Піфагора дорівнює корінь із п’яти, ділений на два. По осі абсцис від точки, що ділить відрізок навпіл, відкладаємо відрізок, довжина якого  дорівнює корінь із п’яти, поділений на два. Позначимо кінець відрізка точкою Ф. Таким чином довжина відрізка ОФ дорівнюватиме одна-друга плюс корінь із п’яти поділений на два, або один плюс корінь із п’яти, поділені на два. Отже відрізок ОФ є відрізком «золотого перетину».

5. Будуємо рівнобедрений трикутник, утворений із діагоналей правильного п’ятикутника, довжина сторони якого дорівнює одному. Відомо, що відрізок «золотого перетину», довжина якого дорівнює один плюс корінь із п’яти, поділені на два, є діагоналлю правильного п’ятикутника, довжина сторони якого дорівнює одному. Таким чином, ми можемо побудувати на осі абсцис рівнобедрений трикутник, довжина основи якого дорівнює одному (відрізок від центра кола О до точки перетину осі абсцис з колом), а довжина бокової сторони дорівнює довжині відрізку «золотого перетину»  ОФ (один плюс корінь із п’яти, ділені на два). Для цього за допомогою циркуля будуємо дугу з центром у точці О та радіусом, що дорівнює відрізку ОФ. Ця дуга перетинає пряму, що паралельна осі ординат, у точці, яку ми назвемо точкою Ф-один. Ця точка є вершиною нашого трикутника. Оскільки кут між рівними сторонами цього трикутника дорівнює тридцяти шести градусам, то половина цього кута, поділеного прямою, що паралельна осі ординат, дорівнює вісімнадцяти градусам.

6. Ділимо коло на п’ять рівних дуг, які стягують центральні кути по сімдесят два. З початку будуємо центральний кут, що дорівнює вісімнадцяти градусам. Один промінь цього кута є віссю ординат. Інший промінь перетинає точку Ф-один. Утворений кут є перехресним половині кута, побудованого рівнобедреного трикутника з вершиною у точці Ф-один, отже він дорівнює вісімнадцяти градусам. За допомогою циркуля відкладаємо на колі чотири дуги, що стягують центральні кути по вісімнадцять градусів. Таким чином утворилась дуга, яка стягує центральний кут, що дорівнює сімдесяти двом градусам. Аналогічним чином ділимо коло на п’ять рівних дуг, що стягують центральні кути по сімдесят два градуси. Хорди цих дуг утворюють сторони правильного п’ятикутника.