Програма мінімальних моделей

Основна ідея теорії полягає в спрощенні біраціональної класифікації многовидів шляхом знаходження в кожному класі біраціональної еквівалентності многовиду, «простого, наскільки це можливо». Точне значення цієї фрази розвивається разом з розвитком самої теорії. Спочатку для поверхонь це означало знаходження гладкого многовиду ${\displaystyle X}$, для якого будь-який біраціональний морфізм ${\displaystyle f:X\rightarrow X'}$ з гладкою поверхнею ${\displaystyle X'}$ є ізоморфізмом.

У сучасному формулюванні метою теорії є таке. Припустимо, що дано проєктивний многовид ${\displaystyle X}$, який, для простоти, є несингулярним. Можливі два варіанти:

• Якщо ${\displaystyle X}$ має розмірність Кодайри ${\displaystyle \kappa (X,K_{X})=-\infty }$, ми хочемо знайти многовид ${\displaystyle X^{\prime }}$, біраціональний до ${\displaystyle X}$, і морфізм ${\displaystyle f:X'\rightarrow Y}$ у проєктивний многовид ${\displaystyle Y}$, такий, що ${\displaystyle \mathrm {dim} Y<\mathrm {dim} X^{\prime }}$, з антиканонічним класом ${\displaystyle -K_{F}}$ шару загального вигляду ${\displaystyle F}$, який є рясним. Такий морфізм називають простором розшарування Фано.
• Якщо ${\displaystyle \kappa (X,K_{X})}$ не менше від 0, ми хочемо знайти ${\displaystyle X'}$, біраціональний ${\displaystyle X}$ з канонічним неф-класом ${\displaystyle K_{X^{\prime }}}$. У цьому випадку ${\displaystyle X'}$ є мінімальною моделлю для ${\displaystyle X}$.

Питання про несингулярності многовидів ${\displaystyle X'}$ і ${\displaystyle X}$, наведених вище, є важливим. Виглядає природним сподіватись, що якщо ми починаємо з гладкого ${\displaystyle X}$, ми завжди знайдемо мінімальну модель або простір розшарування Фано всередині категорії гладких многовидів. Однак це не так, так що стає необхідним розглядати сингулярні многовиди. Сингулярності, що виникають, називають термінальними сингулярностями.

Будь-яка незвідна комплексна алгебрична крива є біраціональною до єдиної гладкої проєктивної кривої, так що теорія для кривих тривіальна. Випадок поверхні спочатку дослідили італійці в кінці XIX — початку XX століття. Теорема про стягування Кастельнуово, по суті, описує процес побудови мінімальної моделі будь-якої гладкої поверхні. Теорема стверджує, що будь-який нетривіальний біраціональний морфізм ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$повинен стягувати −1-криву в гладку точку, і навпаки, будь-яку таку криву можна гладко стягнути. Тут −1-крива є гладкою раціональною кривою C із самоперетином C.C = −1. Будь-яка така крива повинна мати K.C=−1, що показує, що якщо канонічний клас є неф-класом, то поверхня не має −1-кривих.

З теореми Кастельнуово випливає, що для побудови мінімальної моделі для гладкої поверхні, ми просто стягуємо всі −1-криві на поверхні, і отриманий многовид Y або є (єдиною) мінімальною моделлю з неф-класом K, або лінійчастою поверхнею (яка є такою ж, як і 2-вимірний простір розшарування Фано, і є або проєктивною площиною, або лінійчастою поверхнею над кривою). У другому випадку лінійчаста поверхня, біраціональна до X, не єдина, хоча існує єдина поверхня, ізоморфна добутку проєктивної прямої і кривої.

У розмірностях, більших від 2, залучається потужніша теорія. Зокрема, існують гладкі многовиди ${\displaystyle X}$, які не біраціональні будь-якому гладкому многовиду ${\displaystyle X'}$ з канонічним неф-класом. Головне концептуальне просування 1970-х і ранніх 1980-х років — побудова мінімальних моделей залишається можливим з ретельним описом можливих сингулярностей моделей. (Наприклад, ми хочемо зрозуміти, чи є ${\displaystyle K_{X'}}$ неф-класом, так що число перетинів ${\displaystyle K_{X'}{\cdot }C}$ має бути визначеним. Отже, принаймні, наші многовиди повинні мати ${\displaystyle nK_{X'}}$ дивізор Картьє для деякого додатного числа ${\displaystyle n}$.)

Першим ключовим результатом є теорема про конуси Морі, яка описує структуру конуса кривих ${\displaystyle X}$. Коротко, теорема показує, що починаючи з ${\displaystyle X}$, можна за індукцією побудувати послідовність многовидів ${\displaystyle X_{i}}$, кожен з яких «ближчий», ніж попередній, до неф-класу ${\displaystyle K_{X_{i}}}$. Однак процес може ускладнитись — у деякій точці многовид ${\displaystyle X_{i}}$ може стати «занадто сингулярним». Гіпотетичне вирішення цієї проблеми — перебудова^{[уточнити]}, вид хірургії корозмірності 2 на ${\displaystyle X_{i}}$. Неясно, чи існує необхідна перебудова, або що процес завжди зупиниться (тобто що досягнемо мінімальної моделі ${\displaystyle X'}$ за скінченне число кроків.) Морі[1] показав, що перебудови існують у 3-вимірному випадку.

Існування загальніших лог-перебудов з'ясував Шокуров для розмірностей три і чотири. Згодом це узагальнили для вищих розмірностей Біркар, Каскіні, Хекон, і Маккернан, спираючись на раніші роботи Шокурова, Хекона і Маккернана. Вони поставили також деякі інші задачі, зокрема узагальнення лог-канонічних кілець та існування мінімальних моделей для лог-многовидів загального вигляду.

Завдання зупинки лог-перебудов у просторах вищої розмірності залишається об'єктом активного дослідження.