Морфізм алгебричних многовидів

В алгебричній геометрії, морфізмом між алгебричними многовидами називається відображення між многовидами, що локально є многочленом. Морфізми також називають регулярними відображеннями. Морфізм із алгебричного многовида в афінну пряму називається регулярною функцією.

Регулярне відображення, для якого існує обернене відображення, що теж є регулярним називається бірегулярним. Бірегулярні відображення є ізоморфізмами у категорії алгебричних многовидів. Загалом регулярність і бірегулярність є досить сильними умовами, наприклад єдиними регулярними функціями на проєктивних многовидах є константи. Тому часто при вивченні алгебричних многовидів використовують слабші властивості відображень, зокрема раціональність і біраціональність.

Означення

Якщо X і Y є підмноговидами афінних просторів An і Am, то регулярне відображення ƒ:XY є обмеженням поліноміального відображення AnAm. Тобто відображення має вид

де належать координатному кільцю многовида X:

а Iідеал, що визначає X, і образ належить Y; тобто задовольняє поліноміальні рівняння, що визначають Y. (Два многочлени f і g задають одну функцію на X якщо і тільки якщо f  g належить ідеалу I.)

Для проєктивних чи квазіпроєктивних многовидів, відображення ƒ:XY між двома многовидами називається регулярним в точці x якщо існує окіл U точки x і окіл V точки ƒ(x) для яких ƒ(U) ⊂ V і обмеження відображення ƒ:UV є регулярним як відображення між деякими афінними картами на U і V. Відображення ƒ називається регулярним, якщо воно є регулярним в усіх точках X. Якщо X і Y є афінними, то два подані вище означення регулярності відображення ƒ:XY є еквівалентними (афінні многовиди є квазіпроєктивними).

У загальному випадку X і Y є абстрактними алгебричними многовидами, тобто певним видом окільцьованих просторів і відображення ƒ:XY між ними називається регулярним, якщо воно є морфізмом локально окільцьованих просторів.

Композиція регулярних відображень є регулярним відображенням; тому алгебричні многовиди утворюють категорію морфізмами якої є регулярні відображення.

Регулярні відображення між афінними многовидами утворюють контраваріантну однозначну відповідність з гомоморфізмами між координатними кільцями: якщо ƒ:XY є морфізмом афінних многовидів, тоді він задає k-гомоморфізм

де — координатні кільця многовидів X і Y; дане означення є добре заданим оскільки є многочленом щодо елементів . Навпаки, якщо є k-гомоморфізмом афінних алгебр, то він задає морфізм

таким чином: записавши

де є образами елементів .

Виконуються рівності і Зокрема, f є ізоморфізмом афінних многовидів, якщо і тільки якщо f# є ізоморфізмом координатних кілець.

Наприклад, якщо X є замкнутим підмноговидом афінного многовида Y і ƒ є включенням, то ƒ# є обмеженням регулярної функції з Y на X.

Регулярні функції

Якщо Y є рівним A1 регулярне відображення ƒ:XA1 називається регулярною функцією. Регулярні функції є алгебричним аналогом гладких функцій у диференціальній геометрії. Кільце регулярних функцій є фундаментальним об'єктом досліджень афінної алгебричної геометрії. Єдиними регулярними функціями на є константи (цей факт можна розглядати як алгебричний аналог теореми Ліувіля в комплексному аналізі).

Функція ƒ:XA1 є регулярною в точці x якщо, в деякому афінному околі точки x, вона є раціональною функцією регулярною в точці x; тобто якщо існують деякі регулярні функції g, h в афінному околі x, такі що f = g/h і h не рівна нулю в точці x.

Якщо X є квазіпроєктивним многовидом, тобто відкритим підмноговидом проєктивного многовида, тоді поле функцій k(X) є рівним полю функцій замикання многовида X і тому раціональні функції на X мають вид g/h для деяких однорідних елементів g, h однакового степеня від однорідних координат проєктивного многовида . Тоді раціональна функція f на X є регулярною в точці x, якщо і тільки якщо існують однорідні елементи g, h однакового степеня в , для яких f = g/h і h не рівний нулю в точці x. Цю властивість можна також взяти за означення регулярних функцій.

Порівняння з морфізмами схем

Якщо X = Spec A і Y = Spec B є афінними схемами, тоді гомоморфізм кілець φ : BA задає морфізм схем

визначений через прообрази простих ідеалів. Всі морфізми афінних схем задаються подібним чином і за допомогою склеювання таких морфізмів вводиться поняття морфізмів загальних схем.

Якщо X, Y є афінними многовидами, тобто A і B є областями цілісності і скінченнопородженими алгебрами над алгебрично замкнутим полем k, то, розглядаючи лише замкнуті точки, отримуємо еквівалентне означення регулярності відображення. (Доведення: якщо ƒ : XY є морфізмом, то записавши , потрібно довести, що

де є максимальними ідеалами точок x і f(x); тобто, . Це відразу випливає з означень.)

Як наслідок категорію афінних многовидів можна ідентифікувати як повну підкатегорію категорії афінних схем над полем k. Оскільки морфізми довільних многовидів одержуються склеюваннями морфізмів афінних многовиди як і морфізми схем з морфізмів афінних схем, категорія многовидів є повною підкатегорією категорії схем над полем k.

Приклади

  • Регулярними функціями на An є многочлени від n змінних; регулярними функціями на Pn є лише константи.
  • Нехай X — афінна крива . Тоді відображення
є морфізмом; воно є бієкцією із оберненим відображенням . Оскільки g теж є морфізмом, то f є ізоморфізмом многовидів.
  • Нехай X — афінна крива . Тоді
є морфізмом. Йому відповідає гомоморфізм кілець
який є ін'єктивним (оскільки f є сюр'єктивним).
  • В попередньому прикладі, нехай U = A1  {1}. Оскільки U є доповненням гіперплощини t = 1, то U є афінним многовидом. Відображення є бієкцією. Але відповідний гомоморфізм кілець є включенням , що не є ізоморфізмом, тож f |U теж не є ізоморфізмом многовидів.
  • Нехай X — афінна крива x2 + y2 = 1 і
.
Тоді f є раціональною функцією на X. Вона є регулярною на (0, 1) оскільки як раціональна функція на X, f може бути записана як .
  • Нехай X = A2 − (0, 0). Тоді X є алгебричним многовидом оскільки X є відкритою підмножиною многовида. Якщо f є регулярною функцією на X, тоді f є регулярною на і належить . Також вона належить . Тому:
де g, h є многочленами з k[x, y]. Як наслідок g ділиться на xn і f є многочленом. Тому кільце регулярних функцій на X рівне k[x, y]. (Тому, зокрема, X не є афінним многовидок; в іншому випадку, мало б бути X = A2.)
  • Припустимо ідентифікуючи точки (x : 1) з точками x на A1 і ∞ = (1 : 0). Існує автоморфізм σ многовида P1 заданий як σ(x : y) = (y : x); зокрема, σ переставляє 0 і ∞. якщо f є раціональною функцією на P1, Тоді
і f є регулярною у ∞ якщо і тільки якщо f(1/z) є регулярною в нулі.
  • Для довільних алгебричних многовидів X, Y, проєкція
є морфізмом многовидів. Якщо X і Y є афінними, то відповідний гомоморфізм кілець:
де .

Властивості

Морфізм між многовидами є неперервним відображенням щодо топології Зариського.

Образ морфізма многовидів може не бути відкритою чи замкнутою множиною (наприклад, образ відображення ). Якщо f є морфізмом між многовидами, то образ f містить відкриту щільну підмножину його замикання.

Морфізм ƒ:XY алгебричних многовидів називається домінантним якщо його образ є щільною множиною. Для такого f, якщо V є непустою відкритою афінною підмножиною многовида Y, то існує непуста відкрита афінна підмножина U многовида X, для якої ƒ(U) ⊂ V, і тоді є ін'єкцією. Тобто домінантне відображення індукує ін'єкції на рівні полів функцій:

де границя береться по всіх непустих афінних відкритих підмножинах Y. Навпаки, кожне включення полів індукується домінантним раціональним відображенням з X в Y.[1] Відповідно дана конструкція визначає контраваріантну еквівалентність між категорією алгебричних многовидів над полем k і домінантних раціональних відображень між ними і категорією скінченнопороджених розширень поля k.[2]

Якщо X є гладкою повною кривою (Наприклад, P1) і якщо f є раціональним відображенням з X у проєктивний простір Pm, то f є a регулярним відображенням XPm.[3] Зокрема, коли X є гладкою повною кривою, будь-яка раціональна функція на X може розглядатися як морфізм XP1 і, навпаки, такий морфізм як раціональна функція на X.

Для нормального многовида (зокрема гладкого многовида) раціональна функція є регулярною, якщо і тільки якщо вона не має полюсів корозмірності 1.

Морфізм між алгебричними многовидами, що є гомеоморфізмом топологічних просторів, не обов'язково буде ізоморфізмом (контрприкладом є морфізм Фробеніуса .) Навпаки, якщо f бієктивним біраціональним відображенням у нормальний многовид, то f є бірегулярним. (Головна теорема Зариського.)

Регулярне відображення між комплексними алгебричними многовидами є голоморфним. Зокрема регулярне відображення на комплексну пряму є голоморфною функцією.

Морфізми в проєктивний простір

Нехай

є морфізмом з проєктивного многовида в проєктивний простір і x — точка в X. Тоді деяка i-та однорідна координата точки f(x) є ненульовою; наприклад, i = 0 для простоти. Тоді, з неперервності, існує відкритий афінний окіл U точки x такий що

є морфізмом, де yi позначає однорідні координати. Область значень у цьому випадку є афінним простором Am, якщо ідентифікувати . Тому, згідно з означенням, обмеження f |U задається як

де gi є регулярними функціями на U. Оскільки X є проєктивним многовидом, кожна gi є часткою однорідних елементів однакового степеня однорідного координатного кільця k[X] многовида X. Ці частки можна упорядкувати так, що вони матимуть спільний однорідний знаменник f0. Тоді можна записати gi = fi/f0 для деяких однорідних елементів fi у k[X]. Повертаючись до однорідних координат,

для всіх x у U і згідно з неперервністю для всіх x з X, для яких не всі одночасно fi приймають нульове значення. Якщо всі одночасно fi приймають нульове значення в точці x многовида X, то, згідно з описаною вище процедурою, можна обрати fi, які не приймають одночасно нульове значення в цій точці.

Описане вище насправді є справедливим для довільного квазіпроєктивного многовида X, що є відкритим підмноговидом проєктивного многовида , з тією різницею, що fi належать однорідному координатному кільцю многовида .

Зауваження: Написане вище не означає що морфізм з проєктивного многовида в проєктивний простір задається єдиною множиною многочленів (як у афінному випадку). Наприклад, нехай X — коніка в P2. Тоді два відображення і узгоджуються на відкритій підмножині коніки X (оскільки ) і визначають морфізм .

Прообрази морфізма

Важливим результатом є теорема:[4] Нехай f: XY — домінуючий морфізм алгебричних многовидів, і r = dim X  dim Y. Тоді

  1. Для кожної незвідної замкнутої підмножини W многовида Y і кожної незвідної компоненти Z прообразу , що домінує W,
  2. Існує непуста відкрита підмножина U в Y, для якої (a) і (b) для кожної незвідної замкнутої підмножини W многовида Y з непустим перетином з U і кожної незвідної компоненти Z прообразу з непустим перетином з ,

Нехай f: XY — морфізм алгебричних многовидів. Для кожної точки x з X, позначимо

де Z — незвідна компонента , що містить x.

Тоді e є верхньою напівнеперервною функцією, тобто для кожного цілого числа n, множина

є замкнутою.

Див. також

Notes

  1. Vakil, Foundations алгебричних geometry, Proposition 6.5.7.
  2. Hartshorne,, Ch. I,Theorem 4.4.
  3. Hartshorne,, Ch. I, Proposition 6.8.
  4. Mumford,, Ch. I, § 8. Theorems 2, 3.

Література

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.