Пропагатор
Пропага́тор або фу́нкція поши́рення — функція, що задає амплітуду ймовірності переходу квантової частинки, яка перебувала в певний момент часу в однієї точці простору, в іншу в інший момент часу.
Пропагатор є функцією Гріна рівняння Шредінгера. Пропагатори використовуються для функціонального формулювання квантової механіки, в якому застосовуються інтеграли Фейнмана.
Означення
Пропагатор визначається, як матричний елемент оператора еволюції
- ,
де пропагатор позначений K, оператор еволюції , а — власна функція оператора координати.
В нерелятивістській квантовій механіці пропагатор задовольняє рівнянню
- ,
де — гамільтоніан, — зведена стала Планка.
Хвильова функція частинки в момент часу t виражається через хвильову функцію в момент часу з використанням пропагатора через формулу
Приклади
Вільна частинка
Для вільної частинки, яка рухається в тривимірному просторі пропагатор має вигляд
- ,
де m — маса частинки.
Ця формула описує розпливання хвильового пакета з часом.
Пропагатори у квантовій теорії поля
У квантовій теорії поля пропагатором для коваріантного поля народження і знищення
- ,
де - спінорний індекс, що відповідає спіну (спіральності) поля як представлення групи Пуанкаре, - поляризації ( поляризацій для масивного випадку, 1 поляризація для безмасового випадку без інваріантності представлення відносно дискретних симетрій групи Лоренца та 2 поляризації для безмасового випадку із інваріантністю відносно вказаних дискретних симетрій),
(у координатному представленні) називається[1] вираз
- .
Тут ,
де обирається в залежності від типу комутаційних співвідношень для операторів полів - відповідно комутаційних чи антикомутаційних.
Обмежимось пропагатором для вільної теорії. Враховуючи, що при дії на вакуум маємо , вираз можна переписати як
- ,
де визначає антикомутатор чи комутатор відповідно. Використовуючи (анти)комутаційні співвідношення на оператори народження і знищення
- ,
можна отримати вираз
- ,
де
- ,
а
- -
пропагатор для клейн-гордонівського поля спіну 0. Як можна показати, він задовольняє рівнянню
- ,
тому його можна представити як
- .
Тому, нарешті, вираз переписується як
- .
Для найпростіших теорій (скалярної, діраківської, масивного бозону спіну 1 і безмасового бозону спіральності 1) маємо, з відомих виразів для сум по поляризаціям,
- ,
- ,
- ,
- .
Посилання
Література
- Юхновський І. Р. Основи квантової механіки. — К. : Либідь, 2002. — 392 с.
- Боголюбов Н. Н., Ширков Д. В. Введение в теорию квантованных полей. — М. : Наука, 1984. — 600 с.
- Бьёркен Дж. Д., Дрелл С. Д. Релятивистская квантовая теория. — М. : Наука, 1978. — 296+408 с.
- Вентцель Г. Введение в квантовую теорию волновых полей. — М. : ГИТТЛ, 1947. — 292 с.
- Зи Э. Квантовая теория поля в двух словах. — Ижевск : РХД, 2009. — 632 с.
- Ициксон К., Зюбер Ж.-Б. Квантовая теория поля. — М. : Мир, 1984. — 448+400 с.
- Пескин М., Шрёдер Д. Введение в квантовую теорию поля. — Ижевск : РХД, 2001. — 784 с.
- Райдер Л. Квантовая теория поля. — М. : Мир, 1987. — 512 с.