Простір стовпців (рядків) матриці

задає лінійне відображення (оператор) з простору $\mathbb {R} ^{n}$ в простір $\mathbb {R} ^{m}$ .

\mathbf {A} =\left({\begin{array}{rrrr}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{array}}\right)

Рядки матриці A є елементами векторного простору $\mathbb {R} ^{n}$ , а стовпці — елементами $\mathbb {R} ^{m}$ .

Властивості

Лінійна оболонка рядків матриці $A$ є лінійним підпростором простору $\mathbb {R} ^{n}$ .
Лінійна оболонка стовпців матриці $A$ є лінійним підпростором простору $\mathbb {R} ^{m}$ .

Ранг матриці рівний найбільшому числу лінійно-незалежних рядків (або стовпців) матриці. Причому ранг по стовпцях збігається з рангом по рядках.

Матриця A ( rank A = r) вводить чотири фундаментальні підпростори:

Назва	Визначення	Простір в якому існує	Розмірність
простір стовпців чи образ	im(A) чи range(A)	$\mathbb {R} ^{m}$	r
нульпростір чи ядро	ker(A) чи null(A)	$\mathbb {R} ^{n}$	n — r
простір рядків чи кообраз(англ.)	im(A^T) чи range(A^T)	$\mathbb {R} ^{n}$	r
лівий нульпростір чи коядро(англ.)	ker(A^T) чи null(A^T)	$\mathbb {R} ^{m}$	m — r

В $\mathbb {R} ^{n}\;\;\ker {(A)}=(\mathrm {im} (A^{T}))^{\perp }$ , тобто, нульпростір є ортогональним доповненням простору рядків.
В $\mathbb {R} ^{m}\;\;\ker {(A^{T})}=(\mathrm {im} (A))^{\perp }$ , тобто, лівий нульпростір є ортогональним доповненням простору стовпців.

Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — 2 изд. — Москва : Наука, 1967. — 576 с. — ISBN 5-9221-0524-8.(рос.)

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.