Підпослідовність

Підпослідовністю ${\displaystyle \left\{x_{n_{k}}\right\}}$ називається послідовність, складена з елементів послідовності ${\displaystyle \{x_{n}\}}$ і в якій порядок слідування її елементів збігається з порядком слідування елементів у початковій послідовності ${\displaystyle \{x_{n}\}}$.
Іншими словами, візьмемо деяку послідовність ${\displaystyle x_{1}}$, ${\displaystyle x_{2}}$, ${\displaystyle x_{3}}$, ..., ${\displaystyle x_{n}}$, ... . Візьмемо другу довільну строго зростаючу послідовність натуральних чисел ${\displaystyle k_{1}<k_{2}<k_{3}<\ldots <k_{n}<\ldots }$. Виберемо із послідовності ${\displaystyle \{x_{n}\}}$ елементи з номерами ${\displaystyle k_{1}}$, ${\displaystyle k_{2}}$, ${\displaystyle k_{3}}$, ..., ${\displaystyle k_{n}}$, ... і розташуємо їх в такому ж порядку як і числа ${\displaystyle k_{n}}$, тоді отримаємо: ${\displaystyle x_{k_{1}}}$, ${\displaystyle x_{k_{2}}}$, ${\displaystyle x_{k_{3}}}$, ..., ${\displaystyle x_{k_{n}}}$, ... . Це і буде підпослідовність ${\displaystyle x_{n_{k}}}$ послідовності ${\displaystyle x_{n}}$.