Монотонна послідовність
Монотонно спадною (зростаючою, неспадною, незростаючою) називають послідовність в якій кожен член є меншим (більшим, не меншим, не більшим) за член послідовності .
Визначення
Нехай є безліч ,на якому введено відношення порядку. Послідовність елементів послідовності називається неспадною, якщо кожен елемент цієї послідовності не перевищує наступного за ним.
- — неспадна
Послідовність елементів множини називається незростаючою, якщо кожен наступний елемент цієї послідовності не перевищує попереднього.
- — незростаюча
Послідовність елементів множини називається зростаючою , якщо кожен наступний елемент цієї послідовності перевищує попередній.
- — зростаюча
Послідовність елементів множини називається спадною, якщо кожен елемент цієї послідовності перевищує наступний за ним.
- — спадною
Послідовність називається монотонною, якщо вона є неспадною, або незростаючою.
Послідовність називається строго монотонною, якщо вона є зростаючою, або спадною.
Очевидно, що строго монотонна послідовність є монотонною.
Іноді використовується варіант термінології, в якому термін «зростаюча послідовність» розглядається як синонім терміну «неспадна послідовність», а термін «спадна послідовність» - як синонім терміну «незростаюча послідовність». У такому випадку зростаючі і спадні послідовності з вищенаведеного визначення називаються «строго зростаючими» і «строго спадними», відповідно.
Проміжки монотонності
Може виявитися, що вищевказані умови виконуються не для всіх номерів , а лише для номерів із деякого діапазону.
Тут допускається звернення правої межі у нескінченність. У цьому випадку послідовність називається монотонною на проміжку I, а сам діапазон I є проміжком монотонності послідовності.
Приклади
- Послідовність натуральних чисел.
- .
- Початкові відрізки:.
- Зростаюча послідовність.
- Складається з натуральних чисел.
- Обмежена знизу, зверху не обмежена.
- Послідовність Фібоначчі
- Початкові відрізки: .
- Не спадна послідовність.
- Складається з натуральних чисел.
- Обмежена знизу, зверху не обмежена.
- Геометрична прогресія з основою .
- .
- Початкові відрізки: .
- Зростаюча послідовність.
- Складається з раціональних чисел.
- Обмежена з обох сторін.
- Послідовність, що сходиться до числа e.
- .
- Початкові відрізки:.
- Зростаюча послідовність.
- Складається з раціональних чисел, але сходиться до трансцендентного числа.
- Обмежена з обох сторін.
- Послідовність раціональних чисел виду не є монотонною. Тим не менш, вона (строго) спадає на відрізку і (строго) зростає на проміжку .
Властивості
- Обмеженість.
- Будь-яка неспадна послідовність обмежена знизу.
- Будь-яка незростаюча послідовність обмежена зверху.
- Будь-яка монотонна послідовність обмежена принаймні з одного боку.
- Монотонна послідовність сходиться тоді і тільки тоді, коли вона обмежена з обох сторін. (Теорема Вейєрштрасса про обмежені монотонних послідовностей)
- Збіжна неспадна послідовність обмежена зверху своєю межею.
- Збіжна незростаюча послідовність обмежена знизу своєю межею.
Джерела
- Заблоцький М., Сторож О., Тарасюк С,. Монотонні послідовністі // Математичний аналіз. — Львів : «Знання», 2008. — С. 47. — ISBN 978-966-346-323-0.
- Тер-Крикоров A.M., Шабунин М.И. Курс математического анализа: Учеб. пособие для вузов. — 3-е изд., исправл. — М.: Физматлит, 2001. — 672 с.