П'єзооптичний ефект

Тензор оптичних поляризаційних констант

${\displaystyle B_{ij}={\frac {1}{\epsilon _{ij}}}=\left({\frac {1}{n^{2}}}\right)_{ij}\,}$  (1), за наявності прикладеного механічного напруження ${\displaystyle \sigma _{kl}\,}$ матиме вигляд[2]

${\displaystyle B_{ij}=B_{ij}^{0}+\Delta B_{ij}=B_{ij}^{0}+\pi _{ijkl}\sigma _{kl}\,}$,  (2)

де ${\displaystyle \epsilon _{ij}\,}$ діелектрична проникливість на оптичній частоті, ${\displaystyle n\,}$ — показник заломлення. Механічне напруження описується полярним, симетричним тензором другого рангу з внутрішньою симетрією — ${\displaystyle [V^{2}]\,}$, тобто ${\displaystyle \sigma _{kl}=\sigma _{lk}\,}$. Тензор п'єзооптичних коефіцієнтів є полярним тензором четвертого рангу[3]
, симетричним за перестановкою індексів у першій і другій парах — ${\displaystyle \pi _{ijkl}=\pi _{jikl}=\pi _{ijlk}=\pi _{jilk}\,}$ (внутрішня симетрія — ${\displaystyle [V^{2}]^{2}\,}$). Оскільки механічне напруження і деформація ${\displaystyle e_{mn}\,}$пов'язані законом Гука:

${\displaystyle e_{mn}=S_{mnkl}\sigma _{kl}\,}$,  (3)

або

${\displaystyle \sigma _{kl}=C_{klmn}e_{mn}\,}$, ( 4)

де ${\displaystyle C_{klmn}\,}$ — тензор пружних жорсткостей (пружних модулів), а ${\displaystyle S_{mnkl}\,}$ — тензор пружних податливостей. Дані тензори є взаємнооберненими (${\displaystyle C_{\lambda \mu }S_{\mu \nu }=\delta _{\lambda \nu }\,}$, ${\displaystyle \delta _{\lambda \nu }\,}$ — символ Кронекера) полярними тензорами четвертого рангу з внутрішньою симетрією ${\displaystyle [[V^{2}]^{2}]\,}$, тобто ${\displaystyle C_{klmn}=C_{mnkl}=C_{lkmn}=C_{lknm}=C_{lknm}\,}$ (такі ж перестановки індексів справедиві і для тензора ${\displaystyle S_{mnkl}\,}$). Тому зв'язок між тензорами п'єзооптичних і фотопружних коефіцієнтів задається співвідношенням:

${\displaystyle p_{\lambda \mu }=\pi _{\lambda \nu }C_{\lambda \mu }\,}$,  (5)

або

${\displaystyle \pi _{\lambda \mu }=p_{\lambda \nu }S_{\nu \mu }\,}$,  (6)

У цьому випадку використано матричне представлення тензорів з заміною індексів:

${\displaystyle (mn\leftrightarrow \lambda =1,...6)\,}$,  (7)

${\displaystyle (kl\leftrightarrow \mu =1,...6)\,}$.  (8)

Тензор оптичних поляризаційних констант при фотопружному ефекті запишеться, як:

${\displaystyle B_{ij}=B_{ij}^{0}+\Delta B_{ij}=B_{ij}^{0}+p_{ijmn}e_{mn}\,}$,  (9)

Тензори фотопружних і п'єзооптичних коефіцієнтів відмінні від нуля для середовищ будь-якої симетрії.

Рівняння оптичної індикатриси (характеристичної поверхні тензора поляризаційних констант) в загальному випадку має вигляд:

${\displaystyle B_{ij}x_{i}x_{j}=1\,}$,  (10)

де ${\displaystyle x_{i}x_{j}=x,y,z\,}$ — базисні вектори Декартової системи координат. Дане рівняння можна представити, як

${\displaystyle B_{11}x^{2}+B_{22}y^{2}+B_{33}z^{2}+2B_{32}zy+2B_{31}xz+2B_{12}xy=1\,}$,  (11)

При прикладанні механічного напруження до тіла (наприклад до ізотропного скла) оптичні поляризаційні константи залежатимуть від механічного напруження. Наприклад під дією механічного напруження ${\displaystyle \sigma _{11}\,}$ (тиск або розтяг, спрямовані вздовж осі ${\displaystyle x\,}$) рівняння оптичної індикатриси ізотропного скла за відсутності механічного напруження має вигляд:

${\displaystyle B_{11}^{0}x^{2}+B_{11}^{0}y^{2}+B_{11}^{0}z^{2}=1\,}$,  (12)
.

Тензор пєзооптичних коефіцієнтів для ізотропних середовищ має вигляд:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\Delta B_{11}\\\Delta B_{22}\\\Delta B_{33}\\\Delta B_{32}\\\Delta B_{31}\\\Delta B_{21}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\pi _{11}&\pi _{12}&\pi _{12}&0&0&0\\\pi _{12}&\pi _{11}&\pi _{12}&0&0&0\\\pi _{12}&\pi _{12}&\pi _{11}&0&0&0\\0&0&0&\pi _{44}&0&0\\0&0&0&0&\pi _{44}&0\\0&0&0&0&0&\pi _{44}\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{22}&\sigma _{33}&\sigma _{32}&\sigma _{31}&\sigma _{21}\end{bmatrix}}\,}$,  (13)

причому — ${\displaystyle \pi _{44}=\pi _{11}-\pi _{12}\,}$

При прикладеному напруженні ${\displaystyle \sigma _{11}\,}$ рівняння (12)зміниться:

${\displaystyle (B_{11}^{0}+\pi _{11}\sigma _{11})x^{2}+(B_{11}^{0}+\pi _{11}\sigma _{11})y^{2}+(B_{11}^{0}+\pi _{12}\sigma _{11})z^{2}=1\,}$,  (14)
.

Як видно з останнього рівняння тензор оптичних поляризаційних констант під дією механічного напруження набув вигляду, властивого для оптично анізотропних середовищ. Оскільки, ${\displaystyle B_{11}=B_{22}\neq B_{33}\,}$, то первинно оптично ізотропне скло стало оптично одновісним і анізотропним.
Тоді, змінені механічним напруженням показники заломлення набудуть вигляду:

${\displaystyle n_{x}=n_{0}+{\frac {1}{2}}n_{0}^{3}\pi _{11}\sigma _{11}\,}$,  (15)
${\displaystyle n_{y}=n_{0}+{\frac {1}{2}}n_{0}^{3}\pi _{12}\sigma _{11}\,}$,  (16)
${\displaystyle n_{z}=n_{0}+{\frac {1}{2}}n_{0}^{3}\pi _{12}\sigma _{11}\,}$.  (17)

При поширенні сітла вздовж напрямку, перпендикулярного до напрямку прикладеного напруження спостерігатиметься двозаломлення індуковане механічним напруженням, яке визначатиметься співвідношенням:

${\displaystyle \Delta n_{xy}=n_{x}-n_{y}={\frac {1}{2}}n_{0}^{3}(\pi _{11}-\pi _{12})\sigma _{11}\,}$,  (18)

а різниця фаз між двома хвилями, які поширюються у склі матиме вигляд:

${\displaystyle \Gamma ={\frac {2\pi }{\lambda }}\Delta n_{xy}d={\frac {\pi d}{\lambda }}n_{0}^{3}(\pi _{11}-\pi _{12})\sigma _{11}\,}$  (19)

П'єзооптичний і фотопружний ефекти використовуються в неруйнівному контролі механічних напружень прозорих оптичних елементів, деталей та конструкцій; при вимірюванні механічного напруження чи тиску безконтакним методом; в акустооптиці та ін. Фотопружний ефект лежить в основі таких явищ, як акустооптична дифракця світла, і розсіяння Мандельштама-Бріллюена.

• Електрооптичний ефект
• Ефект Коттона-Мутона
• Акустооптична дифракція

• Акустооптичний ефект // ВУЕ