Ознака порівняння

У диференціальному та інтегральному численні ознака порівняння для рядів зазвичай складається з пари тверджень про нескінченні ряди з невід'ємними (дійсними) членами:[1]

• Якщо нескінченний ряд ${\displaystyle \sum b_{n}}$є збіжним i ${\displaystyle 0\leq a_{n}\leq b_{n}}$ для всіх досить великих ${\displaystyle n}$ (тобто для всіх ${\displaystyle n>N}$для деякого фіксованого значення ${\displaystyle N}$), то нескінченний ряд ${\displaystyle \sum a_{n}}$ також є збіжним.
• Якщо нескінченний ряд ${\displaystyle \sum b_{n}}$ є розбіжним і ${\displaystyle 0\leq b_{n}\leq a_{n}}$ для всіх достатньо великих ${\displaystyle n}$ то нескінченний ряд ${\displaystyle \sum a_{n}}$ також є розбіжним.

Зауважимо, що ряди з більшими членами іноді називаються домінантними (або частково домінантними) відносно рядів з меншими членами.[2] Як варіант ознаку можна сформулювати у термінах абсолютної збіжності, і в цьому випадку її також застосовують для рядів із комплексними членами:[3]

• Якщо нескінченний ряд ${\displaystyle \sum b_{n}}$ є абсолютно збіжним і ${\displaystyle |a_{n}|\leq |b_{n}|}$ для всіх достатньо великих ${\displaystyle n}$, то нескінченний ряд ${\displaystyle \sum a_{n}}$ теж є абсолютно збіжним.
• Якщо нескінченний ряд ${\displaystyle \sum b_{n}}$ не є абсолютно збіжним і ${\displaystyle |b_{n}|\leq |a_{n}|}$ для всіх достатньо великих ${\displaystyle n}$, то нескінченний ряд ${\displaystyle \sum a_{n}}$ теж не є абсолютно збіжним.

Зауважимо, що в цьому останньому твердженні ряд ${\displaystyle \sum a_{n}}$ все ще може бути умовно збіжним; для дійснозначних рядів також може трапитися, якщо не всі ${\displaystyle a_{n}}$ є невід'ємними.

Друга пара тверджень еквівалентна першій у випадку дійснозначних рядів, тому що ряд ${\displaystyle \sum c_{n}}$ є абсолютно збіжним тоді і тільки тоді, коли ряд ${\displaystyle \sum |c_{n}|}$ (ряд з невід'ємними членами) є збіжним.

Доведення всіх наведених вище тверджень є подібними. Наведемо тут доведення третього твердження.

Нехай ${\displaystyle \sum a_{n}}$ та ${\displaystyle \sum b_{n}}$ — нескінченні ряди такі, що ряд ${\displaystyle \sum b_{n}}$ є абсолютно збіжний (таким чином, ряд ${\displaystyle \sum |b_{n}|}$ збіжний) і не втрачаючи загальності вважаємо, що ${\displaystyle |a_{n}|\leq |b_{n}|}$ для всіх додатних натуральних ${\displaystyle n}$.

Розглянемо часткові суми .

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{n}=|a_{1}|+|a_{2}|+\dots +|a_{n}|,\quad T_{n}=|b_{1}|+|b_{2}|+\dots +|b_{n}|\end{aligned}}}$

Оскільки ряд ${\displaystyle \sum b_{n}}$ абсолютно збіжний, то ${\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }T_{n}=T}$ для деякого дійсного числа ${\displaystyle T}$. Для всіх ${\displaystyle n}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}0\leq S_{n}&=|a_{1}|+|a_{2}|+\dots +|a_{n}|\leq |a_{1}|+\dots +|a_{n}|+|b_{n+1}|+\dots =\\&=S_{n}+(T-T_{n})\leq T.\end{aligned}}}$

Послідовність ${\displaystyle S_{n}}$ — неспадна, а послідовність ${\displaystyle S_{n}+(T-T_{n})}$ — незростаюча. Нехай ${\displaystyle m,n>N}$, тоді ${\displaystyle S_{n}}$ та ${\displaystyle S_{m}}$ належать інтервалу ${\displaystyle [S_{N},S_{N}+(T-T_{N})]}$, довжина якого ${\displaystyle T-T_{N}}$ прямує до нуля при ${\displaystyle N\to \infty }$. Це показує, що ${\displaystyle \{S_{n}\}_{n-1,2,\dots }}$ є послідовністю Коші, і тому вона є збіжною. Таким чином, ряд ${\displaystyle \sum a_{n}}$ є абсолютно збіжним.

Ознаку порівняння для інтегралів можна сформулювати наступним чином: для неперервних дійснозначних функцій ${\displaystyle f}$ і ${\displaystyle g}$, заданих на проміжку ${\displaystyle [a,b)}$, вважаємо, що або ${\displaystyle b}$ дорівнює ${\displaystyle +\infty }$, або ж дійсному числу, при якому кожна з функції ${\displaystyle f}$ та ${\displaystyle g}$ мають вертикальну асимптоту:[4]

• Якщо невласний інтеграл ${\displaystyle \displaystyle \int _{a}^{b}g(x)\,{\rm {d}}x}$ є збіжним і ${\displaystyle 0\leq f(x)\leq g(x)}$ для ${\displaystyle a\leq x<b}$, тоді невласний інтеграл ${\displaystyle \displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,{\rm {d}}x}$ також є збіжним, причому

      ${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,{\rm {d}}x\leq \int _{a}^{b}g(x)\,{\rm {d}}x.}$

• Якщо невласний інтеграл ${\displaystyle \displaystyle \int _{a}^{b}g(x)\,{\rm {d}}x}$ є розбіжним і ${\displaystyle 0\leq g(x)\leq f(x)}$ для ${\displaystyle a\leq x<b}$, тоді невласний інтеграл ${\displaystyle \displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,{\rm {d}}x}$ також є розбіжним.

Інша ознака збіжності дійснозначних рядів подібна як до прямої порівняльної ознаки розглянутої вище, так і до ознаки д'Аламбера, називається ознакою порівняння відношень:[5]

• Якщо нескінченний ряд ${\displaystyle \sum b_{n}}$ є збіжним, ${\displaystyle a_{n}>0}$, ${\displaystyle b_{n}>0}$ i ${\displaystyle {\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\leq {\frac {b_{n+1}}{a_{n}}}}$ для всіх достатньо великих ${\displaystyle n}$, тоді нескінченний ряд ${\displaystyle \sum a_{n}}$ також є збіжним.
• Якщо нескінченний ряд ${\displaystyle \sum b_{n}}$ є розбіжним, ${\displaystyle a_{n}>0}$, ${\displaystyle b_{n}>0}$ i ${\displaystyle {\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\geq {\frac {b_{n+1}}{a_{n}}}}$ для всіх достатньо великих ${\displaystyle n}$, тоді нескінченний ряд ${\displaystyle \sum a_{n}}$ також є розбіжним.

• Ознаки збіжності
• Збіжний ряд
• Теорема Лебега про мажоровану збіжність
• Інтегральна ознака Коші — Маклорена
• Гранична ознака порівняння
• Теорема Леві про монотонну збіжність

1. Ayres & Mendelson (1999), p. 401.
2. Munem & Foulis (1984), p. 662.
3. Silverman (1975), p. 119.
4. Buck (1965), p. 140.
5. Buck (1965), p. 161.

• Ayres, Frank Jr.; Mendelson, Elliott (1999). Schaum's Outline of Calculus (вид. 4th). New York: McGraw-Hill. ISBN 0-07-041973-6.
• Advanced Calculus (вид. 2nd). New York: McGraw-Hill. 1965.
• Infinite Sequences and Series. New York: Dover Publications. 1956. § 3.1. ISBN 0-486-60153-6.
• Munem, M. A.; Foulis, D. J. (1984). Calculus with Analytic Geometry (вид. 2nd). Worth Publishers. ISBN 0-87901-236-6.
• Silverman, Herb (1975). Complex Variables. Houghton Mifflin Company. ISBN 0-395-18582-3.