Розподіл Парето для втрат в страхуванні

Розподіл Парето в теорії імовірностей — це двопараметрична сім'я абсолютно неперервних розподілів.

Випадкова величина У має розподіл Парето з параметрами ${\displaystyle {\lambda }>0}$ і ${\displaystyle {\alpha }>0}$, якщо її щільність задана як: ${\displaystyle f_{Y}(x)={\frac {\alpha }{\lambda }}\left({\frac {\lambda }{\lambda +x}}\right)^{(\alpha +1)}}$

Функція розподілу в цьому випадку задана як: ${\displaystyle F_{Y}(x)=1-\left({\frac {\lambda }{\lambda +x}}\right)^{\alpha }}$

Середнє значення для випадкової величини, що має розподіл Парето, визначається як: ${\displaystyle EY=\int _{0}^{\infty }{x}*{\frac {\alpha }{\lambda }}\left({\frac {\lambda }{\lambda +x}}\right)^{(\alpha +1)}}$ ${\displaystyle dx={\frac {\lambda }{\alpha -1}}}$

Для другого моменту маємо: ${\displaystyle EY^{2}=\int _{0}^{\infty }{x^{2}}*{\frac {\alpha }{\lambda }}\left({\frac {\lambda }{\lambda +x}}\right)^{(\alpha +1)}}$ ${\displaystyle dx={\frac {2\lambda ^{2}}{(\alpha -1)(\alpha -2)}}}$

Звідси одержуємо вираз для дисперсії: ${\displaystyle VarY=EY^{2}-{(EY)^{2}}={\frac {\alpha \lambda ^{2}}{(\alpha -1)^{2}(\alpha -2)}}}$

Як було зазначено, кінцевий середній розподіл Парето маємо тільки при ${\displaystyle {\alpha }>1}$ , а кінцеву дисперсію — при ${\displaystyle {\alpha }>2}$

Коефіцієнт варіації випадкової величини, що має розподіл Парето рівний ${\displaystyle WY={\frac {\sigma {Y}}{EY}}={\sqrt {\frac {\alpha }{\alpha -2}}}}$

Можна зробити висновок, що коефіцієнт варіації завжди більше одиниці. Це свідчить про те, що характерна особливість розподілу Парето, а саме імовірність великих значень позовів, достатньо велика. Порівнюючи розподіл Парето ще з одним розподілом, таким як експоненціальний, можна зробити висновок що перший так як і другий асиметричний, проте «хвіст» у нього важчий, тобто імовірність великих розмірів відшкодувань більше, ніж при експоненціальному розподілі.

Для прикладу використаємо дані про розмір 96 окремих вимог про виплату, зроблених по деякому виду страхування.

Таблиця. Розмір окремих вимог про виплату(у.о)

Розрахуємо деякі статистичні характеристики даної таблиці:

Середнє значення: ${\displaystyle {\bar {x}}=2989}$

Дисперсія: ${\displaystyle \delta ^{2}={\bar {x^{2}}}-{\bar {x}}^{2}=46521900}$

Для моделювання нам потрібно знайти оцінки параметрів ${\displaystyle {\hat {\alpha }}}$ та ${\displaystyle {\hat {\lambda }}}$. Дані оцінки розподілу Парето з використанням методу моментів знаходяться із системи:

${\displaystyle {\frac {\lambda }{\alpha -1}}=2989}$

${\displaystyle {\frac {\alpha \lambda ^{2}}{(\alpha -1)^{2}(\alpha -2)}}=46521900}$

Розрахувати їх можна через "пошук рішення" в Excel.

В даному прикладі ${\displaystyle {\hat {\alpha }}=2,48}$, а ${\displaystyle {\hat {\lambda }}=4409}$.

Тоді функція розподілу матиме вигляд:

${\displaystyle F_{Y}(x)=1-\left({\frac {4409}{4409+x}}\right)^{2,48}}$

• 
  Рис.1 Функція розподілу Парето в страхуванні

А щільність розподілу Парето буде задана як:

${\displaystyle f_{Y}(x)={\frac {2,48}{4409}}\left({\frac {4409}{4409+x}}\right)^{(2,48+1)}}$

• 
  Рис.2 Щільність розподілу Парето в страхуванні

• Розподіл Парето
• Диверсифікація ризиків за допомогою перестрахування
• Гамма розподіл втрат в страхуванні
• Експоненціальний розподіл втрат у страхуванні
• Ровномірний розподіл втрат в страхуванні

• Козьменко О. В. Актуарні розрахунки: навчальний посібник/О. В. Козьменко.-Суми: Університетська книга,2011.-224с.
• Мак Томас. Математика рискового страхования/Пер. с нем.-М.:ЗАО"Олимп-Бизнес",2005.-432с.